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lucifer · lucifer · commit 3c03a2962bc7 · 2021-03-13T21:21:13.000+08:00
diff --git a/problems/322.coin-change.md b/problems/322.coin-change.md
@@ -62,7 +62,9 @@ https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/
 
 ## 思路
 
-假如我们把 coin 逆序排列，然后逐个取，取到刚好不大于 amout，依次类推。
+假如我们把 coin 逆序排列，然后从面值大的开始取，如果取了当前硬币后金额仍有小于 amount，则继续取。
+
+举个例子：
 
 ```
 eg: 对于 [1,2,5] 组成 11 块
@@ -86,17 +88,33 @@ eg: 对于 [1,2,5] 组成 11 块
 因此结果是 3
 ```
 
-熟悉贪心算法的同学应该已经注意到了，这就是贪心算法，贪心算法更 amount 尽快地变得更小。
-`经验表明，贪心策略是正确的`。 注意，我说的是经验表明， 贪心算法也有可能出错。 就拿这道题目来说，
-他也是不正确的！ 比如 `coins = [1, 5, 11] amout = 15`, 因此这种做法有时候不靠谱，我们还是采用靠谱的做法.
+熟悉贪心算法的同学应该已经注意到了，这就是贪心算法，贪心算法想要使得 amount **尽快地变得更小**。
+
+贪心算法通常时间复杂度更低，但对这道题目来说，贪心是不正确的！要证明它的错误，只需要随便举一个反例即可。 比如 `coins = [1, 5, 11] amout = 15`, 使用贪心就会得到错误的结果。 因此这种做法有时候不靠谱，我们还是采用靠谱的做法.
+
+如果我们暴力求解，对于所有的组合都计算一遍，然后比较， 那么这样的复杂度是 2 的 n 次方（这个可以通过数学公式证明，这里不想啰嗦了），这个是不可以接受的。
+
+暴力法枚举过程实际上有很多重复子问题，我们一般称重叠子问题。对于重叠子问题，我们可以使用备忘录来解决。
+
+以 coins = [1,2,3], amount = 6 来说，我们可以画出如下的递归树。
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1goil47ztakj31jk0nm791.jpg)
+
+（图片来自https://leetcode.com/problems/coin-change/solution/）
+
+如上图 F(1) 被重复计算了 13 次！！如何消除重叠子问题？答案是记忆化递归或者动态规划，二者没有本质区别。
+
+这里以自底向上的动态规划为例讲解一下。比较容易想到的是二维数组存放 F(n) 。
 
-如果我们暴力求解，对于所有的组合都计算一遍，然后比较， 那么这样的复杂度是 2 的 n 次方（这个可以通过数学公式证明，这里不想啰嗦了），
-这个是不可以接受的。那么我们是否可以动态规划解决呢？答案是可以，原因就是可以划分为子问题，子问题可以推导出原问题
+定义 dp[i][j] 为使用 coins 的前 j 项组成 金额 i 的最少硬币数。对于动态规划问题，最关键的是决策（不包含决策的是递推式动态规划）。对于动态规划的决策的技巧就是：仅关心最后一步和前一步，不考虑其他部分是如何达成的。
 
-对于动态规划我们可以先画一个二维表，然后观察，其是否可以用一维表代替。
-关于动态规划为什么要画表，我已经在[这篇文章](../thinkings/dynamic-programming.md)解释了
+对于这道题来说，最后一步就是选择第 j 个硬币还是不选择第 j 个硬币。
 
-比较容易想到的是二维数组：
+- 如果选择第 j 个硬币，那么 dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - coins[j - 1]][j] + 1)
+
+> 注意：dp[i - coins[j - 1]][j] 含义是硬币无限取， dp[i - coins[j - 1]][j - 1] 的含义就变成了硬币最多取一次
+
+- 否则 dp[i][j] = dp[i][j - 1]
 
 ```python
 class Solution:
@@ -127,23 +145,19 @@ class Solution:
 - 时间复杂度：$O(amonut * len(coins))$
 - 空间复杂度：$O(amount * len(coins))$
 
-dp[i][j] 依赖于`dp[i][j - 1]`和 `dp[i - coins[j - 1]][j] + 1)` 这是一个优化的信号，我们可以将其优化到一维,具体见下方。
-
-## 关键点解析
-
-- 动态规划
-
-- 子问题
+dp[i][j] 依赖于`dp[i][j - 1]`和 `dp[i - coins[j - 1]][j] + 1)` 这是一个优化的信号，我们可以将其优化到一维。
 
 用 dp[i] 来表示组成 i 块钱，需要最少的硬币数，那么
 
 1. 第 j 个硬币我可以选择不拿 这个时候， 硬币数 = dp[i]
 
 2. 第 j 个硬币我可以选择拿 这个时候， 硬币数 = dp[i - coins[j]] + 1
 
-- 和背包问题不同， 硬币是可以拿任意个
+和 01 背包问题不同， 硬币是可以拿任意个，对于每一个 dp[i] 我们都选择遍历一遍 coin， 不断更新 dp[i]
+
+## 关键点解析
 
-- 对于每一个 dp[i] 我们都选择遍历一遍 coin， 不断更新 dp[i]
+- 分析出是典型的完全背包问题
 
 ## 代码
 
