Niven-Konstante

Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten $n$ natürlichen Zahlen für $n\to \infty$.

Definition

Es sei $m>1$ eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung $m=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$ mit $a_{i}>0$ und $p_{i}\neq p_{j}$ für $i\neq j$, außerdem $H\left(1\right)=1$ und $H(m)=\max\{a_{1},...,a_{k}\}$ das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von $m$ (Folge A051903 in OEIS), zum Beispiel sind die Zahlen $m$ mit $H(m)=1$ genau die quadratfreien Zahlen. Damit ist die Niven-Konstante definiert als

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j).$

Eigenschaften

Die Niven-Konstante lässt sich durch die Riemannsche Zetafunktion $\zeta \left(k\right)$ ausdrücken und auf diesem Wege näherungsweise berechnen (Niven 1969):

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {1}{\zeta (k)}}{\biggr )}$ $=1{,}70521{\text{ }}11401{\text{ }}05367{\text{ }}76428{\text{ }}85514{\text{ }}53434{\text{ }}50816{\text{ }}07620{\text{ }}27651{\text{ }}65346{\text{ }}...$ (Folge A033150 in OEIS)

Für das asymptotische Verhalten der Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdős

$\sum _{j=1}^{n}h(j)=n+{\frac {\zeta ({\tfrac {3}{2}})}{\zeta (3)}}{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}}),$

wobei $h\left(1\right)=1$ und $h(m)=\min\{a_{1},...,a_{k}\}$ das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von $m$ (Folge A051904 in OEIS) und $o$ ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.$

Literatur

• Steven R. Finch: Niven’s constant. Kapitel 2.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Niven’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A033151 in OEIS (Kettenbruchentwicklung der Niven-Konstante)