Tetraedro de Hill

familia de tetraedros que rellenan el espacio tridimensional
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En geometría, los tetraedros de Hill son una familia de tetraedros que llenan el espacio. Fueron descubiertos en 1896 por M. J. M. Hill, profesor de matemáticas en el University College de Londres, quien demostró que son corte-congruentes con un cubo.

Tetraedros de Hill

Construcción

Para cada  , sean   tres vectores unitarios con ángulo   entre cada dos de ellos. Se define el tetraedro de Hill   de la manera siguiente:

 

Un caso especial   es el tetraedro cuyos todos sus lados son triángulos rectángulos, dos con lados   y dos con lados  . Ludwig Schläfli estudió   como un caso especial del ortoesquema, y H. S. M. Coxeter lo denominó el tetraedro característico del recubrimiento espacial cúbico.

Propiedades

  • Un cubo se puede rellenar mediante un teselado formado con seis copias de  .
  • Cada   se puede diseccionar en tres politopos que se pueden volver a montar formando un prisma.

Generalizaciones

En 1951, Hugo Hadwiger encontró la siguiente generalización n-dimensional del tetraedro de Hill:

 

donde los vectores   satisfacen que   para todo  , y donde  . Demostró que todos esos simplices son corte congruentes con un hipercubo.

Véase también

Referencias

  • M. J. M. Hill, Determination of the volumes of certain species of tetrahedra without employment of the method of limits, Proc. London Math. Soc., 27 (1895–1896), 39–53.
  • H. Hadwiger, Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Lisboa), 12 (No. 50, 1951), 47–48.
  • H.S.M. Coxeter, Frieze patterns, Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
  • E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), no. 1–2, 68–77.
  • Greg N. Frederickson, Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 2003.
  • N.J.A. Sloane, V.A. Vaishampayan, Generalizations of Schobi’s Tetrahedral Dissection, arΧiv:0710.3857.

Enlaces externos