Étant donnés points
-
d'abscisses distinctes, les différences divisées sont définies de la manière suivante :
-
-
Pour toute fonction telle que , on note parfois la différence divisée .
D'après le théorème d'interpolation de Newton, la différence divisée associée à points est égale au coefficient de degré du polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points. Autrement dit :
- .
Cette égalité a des conséquences remarquables :
- invariance par permutation des indices : ;
- linéarité : ;
- règle de Leibniz : ;
- théorème de la moyenne : pour n ≥ 1 et , si est de classe Cn–1 sur et possède une dérivée n-ième sur , il existe tel que .
Les premières itérations donnent :
- Ordre 0 :
- Ordre 1 :
- Ordre 2 :
Pour expliciter le processus récursif, les différences divisées peuvent être calculées en les disposant de la manière suivante dans un tableau :
-
Dans le cas où les abscisses sont en progression arithmétique, les différences divisées sont reliées aux différences finies, définies par
- ,
par la relation (immédiate par récurrence) :
- .