Modèle:Palette Modules élastiques

v · m

Modules d'élasticité pour des matériaux homogènes et isotropes

Module d'Young (E)
Module de cisaillement (G)
Module d'élasticité isostatique (K)
Premier coefficient de Lamé (λ)
Coefficient de Poisson (ν)
Module d'onde de compression (M, P-wave modulus)

Formules de conversion

Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.

formules en 3D	$(\lambda ,G)$	$(E,G)$	$(K,\lambda )$	$(K,G)$	$(\lambda ,\nu )$	$(G,\nu )$	$(E,\nu )$	$(K,\nu )$	$(K,E)$	$(M,G)$
$K\,[\mathrm {Pa} ]=$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E\,[\mathrm {Pa} ]=$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda \,[\mathrm {Pa} ]=$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G$
$G\,[\mathrm {Pa} ]=$			${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
$\nu \,[1]=$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M\,[\mathrm {Pa} ]=$	$\lambda +2G$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
formules en 2D	$(\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })$	$(M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$
$K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$			$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$
$E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$
$\lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }$
$G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$			$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$\nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$					${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$
$M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$

Documentation de palette[purger]

Ceci est la documentation du modèle {{Palette Modules élastiques}}.

Syntaxe

L’utilisation de cette palette se fait par l’ajout, en fin de page, avant les portails, du code {{Palette|Modules élastiques}}, ou en l’ajoutant à une ou des palettes existantes sous la forme {{Palette|nom-palette-1|Modules élastiques}}.

Il est déconseillé d’utiliser la forme {{Palette Modules élastiques}}, qui ne permet pas, contrairement au modèle {{Palette}}, de séparer correctement la ou les palettes du texte qui précède par de l’espace vide.

Explications

La matrice de rigidité (9 par 9, ou 6 par 6 dans la notation de Voigt) dans la loi de Hooke (en 3D) peut se paramétrer par seulement deux nombres dans le cas des matériaux homogènes et isotropes. On peut choisir la paire que l'on préfère parmi les modules d'élasticité ci-dessus. Certaines des conversions possibles sont listées dans la table.

Références

G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin, The Rock Physics Handbook, Cambridge University Press, 2003 (paperback) (ISBN 0-521-54344-4)

La documentation de ce modèle est générée par le modèle {{Documentation palette}}.
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