数値計算の説明 差分法
AZNPDIFFMETHOD： 数値計算の説明 差分法
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Last Updated 2002-6/01
数値計算の説明 差分法
数値計算を行う方法には、
オイラー法、ルンゲ・クッタ法、差分法、有限要素法などがあり、計算対象とする
現象を表現する方程式の種類や、必要とする精度等に応じて使い分けます。
偏微分方程式の数値解を求めるためには、ぜひとも承知し、使えるようにしておくことが大事です。
偏微分方程式には、大別すると３種類：
・ラプラス方程式 ∂2u/∂x2+∂2u/∂y2+∂2u/∂z2=0
ヘルムホルツ方程式：
∂2u/∂x2+κ2u=0
ポアソン方程式：
∂2T/∂x2+∂2T/∂y2+∂2T/∂z2=f(x,y,z)
流れ関数φと渦度ζの関係、をポアソン方程式で表現する：
∂2φ/∂x2+∂2φ/∂y2+ζ=0
・渦度ω=0の流れ(「渦なし流れ」或いは「ポテンシャル流れ」)
∂2φ/∂x2+∂2φ/∂y2=0
ガウスの定理
∂2φ/∂x2+∂2φ/∂y2+∂2φ/∂z2=-ρ/ε
・振動方程式 ∂2u/∂t2=c2(∂2u/∂x2+∂2u/∂y2+∂2u/∂z2)
・拡散方程式 σρ∂T/∂t=κ(∂2T/∂x2+∂2T/∂y2+∂2T/∂z2)
拡散方程式：
∂C/∂t=D∂2C/∂x2
バーガース方程式
∂u/∂t+u∂u/∂x=ν∂2u/∂x2
・移流拡散方程式： 移流速=c(一定）のとき
∂u/∂t+c∂u/∂x=ν∂2u/∂x2
・拡散方程式： 移流速=c(一定）、かつc=0のとき
∂u/∂t=ν∂2u/∂x2
・ホップ方程式： 動粘性率 ν<<1 0のとき
∂u/∂t+u∂u/∂x=ν∂2u/∂x2
・移動流方程式： 動粘性率 ν<<1 0、移流速=c(一定値）のとき
∂u/∂t+c∂u/∂x=0
があります。
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p.213 差分方程式に関する入門
微分方程式（はりのたわみの方程式）
d2y/dx2=-wx(l-x)/(2EI)
この微分方程式は、
中心差分公式を使うことにより、
(yi-1 - 2yi + yi+1)/(Δx)2=-wxi(l-xi)/(2EI)
という差分方程式となる。
l=1, w/(2EI)=100, はりは５等分とするとき、
Δx=1/5=0.2となり、
i番目のxは、すなわちxiは、xi=iΔx=0.2i となる。
これらの値より、
yi-1 -2yi+yi+1=-4(0.2i-0.04i2)
となる。
そして、
y0-2y1+y2=-0.64
y1-2y2+y3=-0.96
y2-2y3+y4=-0.96
y3-2y4+y5=-0.64
という連立方程式ができる。
はりの両端が固定されているという境界条件 y0=0, y5=0 を上記の
連立方程式に代入すると、
y1,y2,y3,y4 を未知数とする連立４元方程式が得られる。
p.217 この連立方程式は「ガウスの消去法」で解くことができる。
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参考文献
//数値計算
//鷹尾「数値計算のはなし」日科技連
//登坂「偏微分方程式の数値シミュレーション」東京大学出版会
//水本「ＦＯＲＴＲＡＮによる数値計算法入門」近代科学社
//山崎「偏微分方程式の数値解法入門」森北出版
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