Teorema de la integral de Cauchy

El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat

Si $f(z)$ és analítica en un domini simplement connex $D$ i la seva derivada és contínua en $D$ , llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en $D$ es té:

\oint _{D}f(z)dz=0\,

Extensió

Posteriorment, Édouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi que la derivada de $f$ fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

El teorema segueix essent vàlid quan el contorn $C$ no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
Sigui $C$ un contorn simple tancat, i siguin $C_{j}$ (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de $C$ , tals que les regions interiors a cada $C_{j}$ no tinguin punts en comú. Sigui $R$ la regió tancada formada per tots els punts dins de $C$ , llevat dels punts interiors a cada $C_{j}$ . Denotem per $F$ tota la frontera orientada de $R$ formada per $C$ i tots els contorns $C_{j}$ , recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de $R$ quedin a l'esquerra de $F$ . Llavors, si $f$ és analítica en tot $R$ , tenim que:

\oint _{F}f(z)dz=0\,

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui $f(z)$ analítica sobre $C$ , essent $z$ un contorn tancat simple i a l'interior de $C$ . Si s'agafa un punt interior " $z_{0}$ " de $C$ , es compleix que:

\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if(z_{0})

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també

Enllaços externs

Michiel Hazewinkel (ed.). Cauchy integral theorem. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric W., «Cauchy Integral Theorem» a MathWorld (en anglès).