Matèria degenerada

El nivell de Fermi

S'anomena matèria degenerada a aquella en la qual una fracció important de la pressió prové del principi d'exclusió de Pauli, que estableix que dos fermions no poden tenir els mateixos nombres quàntics.

Depenent de les condicions, la degeneració de diferents partícules pot contribuir a la pressió d'un objecte compacte, de manera que una nana blanca és sostinguda per la degeneració d'electrons, mentre que una estrella de neutrons no col·lapsa a causa de l'efecte combinat de la pressió de neutrons degenerats i la pressió deguda a la part repulsiva de la interacció forta entre barions.

Aquestes restriccions en els estats quàntics fan que les partícules adquireixin moments molt elevats, ja que no tenen altres posicions de l'espai de fases on situar-se, es pot dir que el gas, en no poder ocupar més posicions, es veu obligat a estendre's en l'espai de moments amb la limitació de la velocitat c. Així doncs, en estar tan comprimida la matèria dels estats energèticament baixos, s'omplen de seguida, per la qual cosa moltes partícules no tenen més remei que col·locar-se en estats molt energètics, cosa que comporta una pressió addicional d'origen quàntic. Si la matèria està prou degenerada, aquesta pressió dominarà, de molt, sobre totes les altres contribucions. Aquesta pressió és, a més, independent de la temperatura i únicament dependent de la densitat.

Calen grans densitats per a arribar als estats de degeneració de la matèria. Per a la degeneració d'electrons, es requerirà una densitat al voltant dels 10⁶ g/cm³, (1000 kg/cm³); per a la dels neutrons, en caldrà molta més encara, aproximadament 10 ¹⁴ g/cm³ (100.000 tones/cm³).

Aquest estat de la matèria s'ha trobat a les estrelles, i més particular en nanes blanques i estrelles de neutrons.

Història

La mecànica quàntica utilitza la paraula degenerat de dues maneres: nivells d'energia degenerats i com a límit d'estat fonamental de baixa temperatura per als estats de la matèria. La pressió de degeneració d'electrons es produeix en els sistemes d'estat fonamental que no estan degenerats en els nivells d'energia. El terme "degeneració" deriva del treball sobre la calor específica dels gasos que és anterior a l'ús del terme en mecànica quàntica.

El 1914 Walther Nernst va descriure la reducció de la calor específica dels gasos a molt baixa temperatura com a "degeneració"; ho va atribuir als efectes quàntics. En treballs posteriors en diversos articles sobre termodinàmica quàntica d’Albert Einstein, Max Planck i Erwin Schrödinger, l'efecte a baixes temperatures es va anomenar "degeneració del gas". Un gas totalment degenerat no depèn del volum de la pressió quan la temperatura s'acosta al zero absolut.

A principis de 1927, Enrico Fermi i per separat Llewellyn Thomas van desenvolupar un model semiclàssic per als electrons en un metall. El model tractava els electrons com un gas. Més tard, el 1927, Arnold Sommerfeld va aplicar el principi de Pauli mitjançant estadístiques de Fermi-Dirac a aquest model de gas electrònic, calculant la calor específica dels metalls; el resultat va ser el model de gas Fermi per a metalls. Sommerfeld va anomenar la regió de baixa temperatura amb efectes quàntics un gas totalment degenerat.

També el 1927 Ralph H. Fowler va aplicar el model de Fermi al trencaclosques de l'estabilitat de les estrelles nanes blanques. Aquest enfocament es va estendre als models relativistes per estudis posteriors i amb el treball de Subrahmanyan Chandrasekhar es va convertir en el model acceptat.

Tractament matemàtic de la degeneració

Per a calcular el nombre de partícules del món fermiònic en funció del seu moment s'usarà la distribució de Fermi-*Dirac (veure estadística de Fermi-*Dirac) de la següent manera:

$n(p)dp=2\cdot {\frac {4\pi p^{2}dp}{h^{3}}}\cdot {\frac {1}{1+\exp \left({\frac {E_{p}}{KT}}-\psi \right)}}$

On n(p) és el nombre de partícules amb moment lineal p. El coeficient inicial 2 és la doble degeneració d'espín dels fermions. La primera fracció és el volum de l'espai de fases en un diferencial de moments partit pel volum d'una cel·la en aquest espai. La h³ és la constant de Planck al cub que, com s'ha dit, significa el volum d'aquestes cel·les en les quals caben fins a dues partícules amb espins oposats. L'últim terme fraccionari és el denominat factor d'ompliment. K és la constant de Boltzmann, T la temperatura, Ep l'energia cinètica d'una partícula amb moment p i ψ el paràmetre de degeneració que és dependent de la densitat i la temperatura.

El factor d'ompliment K indica la probabilitat que estigui ple un estat. El seu valor està comprès entre 0 (tots buits) i 1 (tots plens).

El paràmetre de degeneració indica el grau de degeneració de les partícules. Si pren valors grans i negatius la matèria estarà en un règim de gas ideal. Si és pròxim a 0 la degeneració es comença a notar. Es diu que el material està parcialment degenerat. Si el valor és gran i positiu el material està altament degenerat. Això succeeix quan les densitats són elevades o també quan les temperatures són baixes.

D'aquesta equació es poden deduir les integrals del nombre de partícules, la pressió que exerceixen i l'energia que tenen. Aquestes integrals només és possible resoldre-les analíticament quan la degeneració és completa.

$n=\int _{0}^{\infty }n(p)dp\qquad P={\frac {1}{3}}\int _{0}^{\infty }n(p)v_{p}pdp\qquad U=\int _{0}^{\infty }E_{p}n(p)dp$

El valor de l'energia de les partícules dependrà de la velocitat de les partícules és a dir de si es té un gas relativista o no. En el primer cas s'usaran ja les equacions d'Einstein en el segon valdrà l'aproximació clàssica. Com es pot veure les relacions energia pressió varien significativament sent majors les pressions obtingudes amb la degeneració completa no relativista. És lògic ja que la matèria relativista és més calenta.

Matèria degenerada no relativista (NR):$v<\!<c\qquad p=m_{e}v\qquad E_{p}={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\qquad U={\frac {3}{2}}P$

Matèria degenerada extremadament relativista (ER):$v\simeq c\qquad p\simeq m_{e}c\qquad E_{p}\simeq pc\qquad U=3P$

Les estrelles típiques amb degeneració són les nanes blanques i les nanes marrons sostingudes per electrons i les estrelles de neutrons sostingudes per neutrons degenerats. Es considera que la seva temperatura tendeix a 0 ja que no posseeixen font de calor alguna. Suposarem aquests cossos amb un paràmetre de degeneració tendent a +infinit.