Ehrenfestovy teorémy

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle

,

kde ${\hat {A}}$ je nějaký kvantově-mechanický operátor a $\langle {\hat {A}}\rangle$ je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfestovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

Odvození

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu $\Phi$ . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru ${\hat {A}}$ platí

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}=

=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}

,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor ${\hat {A}}$ časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen $\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$ .

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}{\hat {H}}\Phi

a také

{\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}^{\star }={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit ${\hat {H}}={\hat {H}}^{\star }$ . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int \Phi ^{\star }({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}})\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle

Příklad

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

{\hat {H}}(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)

,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {p}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \left[{\hat {p}},V(x,t)\right]\rangle

,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako ${\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \nabla$ , z čehož plyne ${\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}=0$ . Tedy