Ideál (teorie okruhů)

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

Tak jako normální podgrupy jsou speciálními případy podgrup, jsou rovněž ideály jisté podmnožiny daného okruhu.

Definice

Množina $\emptyset \neq I\subseteq R$ , kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

pro každé $a,b\in I$ je také $a-b\in I$
pro každé $a\in I$ a každé $r\in R$ je také $r\cdot a\in I$ resp. $a\cdot r\in I$

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

Příklady ideálů

V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
Každá podmnožina tvaru $(a)=\{a\cdot r;r\in R\}$ je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé $a\in I$ a každé $r\in R$ je také $r\cdot a\in I$ resp. $a\cdot r\in I$ . Stačí volit třeba $a=3,r={\frac {1}{2}}$ , pak $3\in Z$ a $3\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}\notin Z$

Operace s ideály

průnik ideálů I,J je ideál $I\cap J$ , který je největším ideálem, obsaženým v obou ideálech I,J.
součet ideálů I,J je ideál $\,I+J=\{i+j;i\in I,j\in J\}$ , který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
součin ideálů I,J je ideál $I\cdot J=\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k};n\in N,a_{k}\in I,b_{k}\in J\}$

Vlastnosti

Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li $I\neq R$ a pro každý ideál J, že $I\subseteq J$ , je I = J nebo J = R.
Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé $a,b\in R$ takové, že $a\cdot b\in I$ , je buďto $a\in I$ nebo $b\in I$ .
Jsou-li $a_{1},a_{2},$ … , $a_{k}$ libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. $(\forall r_{1},r_{2},$ … , $r_{k}\in R)$ $a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+$ … $+a_{k}r_{k}\in I$ .

Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Věta

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť $M=\{a_{1},a_{2},$ … $,a_{k}\subseteq R\}$ . Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru $(\forall r_{1},r_{2},$ … , $r_{k}\in R)$ $a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+$ … $+a_{k}r_{k}\in I$ , tj. [M] = I, kde $I=\{a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+$ … $+a_{k}r_{k};r_{1},r_{2},$ … $,r_{k}\in R\}$ .

Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: $x\cdot f_{1}(x)+2\cdot f_{2}(x)$ kde $f_{1}(x),f_{2}(x)\in Z[x]$ .

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů $a_{0}+a_{1}x+$ … $+a_{x}x^{n}\in Z[x]$ , jejíž člen a₀ je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].

Odkazy

Literatura

BLAŽEK, Jaroslav, KOMAN, Milan a VOJTÁŠKOVÁ, Blanka. Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu ideál na Wikimedia Commons