Termisk ligevægt

Ikke at forveksle med termodynamisk ligevægt. Et system i termodynamisk ligevægt er også i termisk ligevægt, men det modsatte er ikke nødvendigvis tilfældes.

Termisk ligevægt opstår, når to eller flere legemer kan udveksle energi kaldet varme. De to legemer vil udveksle energi, indtil begge har samme temperatur.

To systemer har forskellige temperaturer, men ved udveksling af energi bliver temperaturen ens.

$T_{1}=T_{2}$

Det varme legeme afgiver energi, mens det kolde legeme tager imod energi. Når ligevægten er opnået, er den samlede energiudveksling nul.

Et simpelt hverdagseksempel er en kop friskbrygget kaffe, der står i en stue. Mens kaffen er 80 °C, er stuen 20 °C, og de to systemer er derfor ikke i termisk ligevægt. Efter noget tid er kaffen kølet til at have samme temperatur som stuen, og der er således termisk ligevægt.

Statistisk oprindelse

Termisk ligevægt kan forstås vha. den statistiske mekanik ved at betragte to systemer 1 og 2. For et system med energien $E$ kan der være flere forskellige mulige tilstande - såkaldte mikrotilstande - som har den samme energi. Dette antal kan kaldes for $\Omega _{1}(E_{1})$ for system 1. Systemet sættes nu i termisk kontakt med et system, der har energien $E_{2}$ samt $\Omega _{2}(E_{2})$ antal mikrotilstande. For hver mikrotilstande i system 1 er der altså $\Omega _{2}$ mikrotilstande i system 2. Antallet af mikrotilstande $\Omega _{\text{tot}}$ i det samlede system er derfor produktet:

$\Omega _{\text{tot}}(E_{1},E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})$

Når disse to systemer er i termisk kontakt, kan $E_{1}$ og $E_{2}$ ændre sig, men den samlede energi forbliver konstant:

$E_{\text{tot}}=E_{1}+E_{2}$

Under antagelsen at alle mikrotilstande er lige sandsynlige, vil energiudvekslingen betyde, at det er mest sandsynligt, at det samlede system har en energifordeling - en makrotilstand - der maksimerer $\Omega _{\text{tot}}$.

Ved maksimum er den afledte med hensyn til energien nul, så det skal derfor gælde, at

${\frac {\mathrm {d} \Omega _{\text{tot}}}{\mathrm {d} E_{1}}}=0$

Dette er altså den statistiske betingelse for termisk ligevægt.

Udtrykket evalueres:

${\begin{aligned}0&={\frac {\mathrm {d} \Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})}{\mathrm {d} U_{1}}}\\0&={\frac {\mathrm {d} \Omega _{1}(E_{1})}{\mathrm {d} E_{1}}}\Omega _{2}(E_{2})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\mathrm {d} \Omega _{2}(E_{2})}{\mathrm {d} E_{1}}}\\0&={\frac {\mathrm {d} \Omega _{1}(E_{1})}{\mathrm {d} E_{1}}}\Omega _{2}(E_{2})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\mathrm {d} \Omega _{2}(E_{2})}{\mathrm {d} E_{2}}}{\frac {\mathrm {d} E_{2}}{\mathrm {d} E_{1}}}\end{aligned}}$

Da den samlede energi er uændret

$\mathrm {d} E_{\text{tot}}=\mathrm {d} E_{1}+\mathrm {d} E_{2}=0$

er den afledte af system 2's energi mht. system 1:

${\frac {\mathrm {d} E_{2}}{\mathrm {d} E_{1}}}=-1$

Dette indsættes, hvorefter $\Omega _{1}$ og $\Omega _{2}$ separeres:

${\frac {1}{\Omega _{1}(E_{1})}}{\frac {\mathrm {d} \Omega _{1}(E_{1})}{\mathrm {d} E_{1}}}={\frac {1}{\Omega _{2}(E_{2})}}{\frac {\mathrm {d} \Omega _{2}(E_{2})}{\mathrm {d} E_{2}}}$

Da den afledte af den naturlige logaritme er

${\frac {\mathrm {d} \ln(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x}}$

kan udtrykket skrives som:

${\frac {\mathrm {d} \ln \Omega _{1}}{\mathrm {d} E_{1}}}={\frac {\mathrm {d} \ln \Omega _{2}}{\mathrm {d} E_{2}}}$

Den afledte af logaritmen til antallet af mikrotilstande mht. energi skal altså være den samme for begge systemer, hvis de har opnået termisk ligevægt.

Som nævnt i indledning er der termisk ligevægt, når temperaturerne er ens, så denne lighed kan bruges til at lave en statistisk definition af temperatur. Da differentialkvotienten har enheder af invers energi, er temperatur defineret som

${\frac {1}{k_{B}T}}\equiv {\frac {\mathrm {d} \ln \Omega }{\mathrm {d} E}}$

hvor $k_{B}$ er Boltzmanns konstant. Jo hurtigere antallet af mikrotilstande ændrer sig med hensyn til energien, jo mindre er temperaturen.