„Zernike-Polynom“ – Versionsunterschied
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Es gibt [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]] Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch: |
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Zernike Polynome können durch ein Produkt eines radiusabhängigen Teil |
Zernike Polynome können durch ein Produkt eines radiusabhängigen Teil <math>R^m_n</math> und einen winkelabhängigen Teil <math>G^m</math> dargestellt werden: |
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:<math>Z(\rho,\phi) = R(\rho)\cdot G(\phi) \!.</math> |
:<math>Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.</math> |
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Der winkelabhängige Teil hat die Eigenschaft, dass eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel |
Der winkelabhängige Teil hat die Eigenschaft, dass eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>\alpha =2 \pi /m</math> die Form des Polynoms nicht ändert: |
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:<math>G^m(\phi + \alpha) = G^m(\phi ) \!.</math> |
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Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über |
Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über <math>\rho</math> vom Grad <math>n</math>, welches keine Potenz kleiner <math>m</math> enthält. <math>R^m_n</math> ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn <math>m</math> gerade (ungerade) ist. |
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Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der [[Jacobi-Polynom]]e dar. |
Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der [[Jacobi-Polynom]]e dar. |
Version vom 31. März 2008, 16:12 Uhr
Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte Orthogonalpolynome, und spielen insbesondere in der geometrischen Optik eine wichtige Rolle.
Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
und die ungeraden durch
wobei und nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: . ist der azimuthale Winkel im Bogenmaß und ist der normierte radiale Abstand.
Die Radialpolynome sind als
und wenn ungerade ist definiert.
Eigenschaften
Zernike Polynome können durch ein Produkt eines radiusabhängigen Teil und einen winkelabhängigen Teil dargestellt werden:
Der winkelabhängige Teil hat die Eigenschaft, dass eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel die Form des Polynoms nicht ändert:
Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über vom Grad , welches keine Potenz kleiner enthält. ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn gerade (ungerade) ist.
Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome dar.
Anwendungen
In der Optik werden die Zernike-Polynome dafür verwendet, um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler von optischen Systemen beschreiben. Das findet z.B. in der adaptiven Optik Anwendung.
Seit einigen Jahren ist die Verwendung von Zernike-Polynomen auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea bzw. der Linse gegenüber der idealen Form zu Abbildungsfehlern.
Referenzen
- Born and Wolf, "Principles of Optics", Oxford: Pergamon, 1970
- Eric W. Weisstein et al., "Zernike Polynomial", at MathWorld.