π-System

Ein $\pi$-System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )$, also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge $\Omega$. ${\mathcal {S}}$ heißt ein $\pi$-System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen $A,B$ aus dem Mengensystem ${\mathcal {S}}$ gilt, dass $A\cap B\in {\mathcal {S}}$ ist.

Beispiele

Für eine beliebige Grundmenge $\Omega$ sei das Mengensystem

${\mathcal {S}}:=\{A\subset \Omega \mid |A|<\infty \}$

aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige $A,B\in {\mathcal {S}}$ ist nun $|A\cap B|\leq \min(|A|,|B|)$, der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch $A\cap B\in {\mathcal {S}}$, es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System.

Eigenschaften

• Ist das Mengensystem stabil unter Komplementbildung, so ist es genau dann durchschnittsstabil, wenn es vereinigungsstabil ist. Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen.
• Ist das Mengensystem ${\mathcal {S}}$ stabil unter Differenzmengenbildung, dann ist es auch ein π-System. Dies folgt aus $A\cap B=A\setminus (A\setminus B)\in {\mathcal {S}}$.

Verwendung

Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.

Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist ${\mathcal {S}}$ ein $\pi$-System, dann stimmen die von ${\mathcal {S}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also

$\sigma ({\mathcal {S}})=\delta ({\mathcal {S}})$.

Siehe auch

• Σ-Algebra
• Dynkin-System
• Monotone Klasse

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20, doi:10.1007/978-3-663-01244-3. 
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.