Ekvacio

Ekvacio estas egalaĵo, enhavanta almenaŭ unu nekonatan grandon. Depende de la variabloj ĝi povas esti unuvariabla, duvariabla ktp. La radiko de unuvariabla ekvacio estas tiu valoro de la variablo, kiu transformas ekvacion al vera egalaĵo. Ekz. la radiko de la ekvacio 3x - 1 = 2x + 5 estas la nombro 6, ĉar 3 · 6 - 1 = 2 · 6 + 5.

Ilustraĵo pri simpla ekvacio; x, y, z estas realaj nombroj, analogaj al pezoj.

La aro de la radikoj de iu ekvacio povas esti finia, malplena aŭ nefinia. Ekz. la aro de la radikoj de la ekvacio 5x + 3 = 5x estas malplena (t.e. ĝi ne havas radikon); por la ekvacio (x+2)(x-3)=0, ĝi estas {-2; 3}, kaj por la ekvacio |x| = x, ĝi estas [0; +∞).

Rimarko: funkcio |x| nomiĝas modulo de x kaj difineblas jene: |a|=a, se a>=0 kaj |a|=-a, se a<0.

Solvi ekvacion signifas trovi la aron de ĝiaj radikoj (solvoj). Ekvacioj estas ekvivalentaj, se ili havas la samajn solvojn. Ĝenerale, ĉiu unuvariabla ekvacio povas esti prezentita kiel f(x)=0 kaj la aro de ĝiaj solvoj estas aro de abscisoj de la punktoj, rezultitaj pro la intersekco de la grafiko y=f(x) kun OX akso.

Oni konas sekvajn ekvaciojn en matematiko:

• Algebra ekvacio - ekvacio egaliganta polinomon al nulo.
  • Lineara unuvariabla ekvacio - $ax+b=0$
  • Kvadrata ekvacio - entenanta la kvadraton (duagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto - $ax^{2}+bx+c=0$.
  • Kuba ekvacio - entenanta la kubon (triagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto.
  • Bikvadrata ekvacio: $ax^{4}+bx^{2}+c=0$
• Diferenciala ekvacio - ekvacio enhavanta derivaĵojn.
• Diofanta ekvacio

La finia aro de ekvacioj, kiuj enhavas la samajn variablojn, estas nomata ekvaciaro aŭ sistemo de ekvacioj. La solvo de la ekvaciaro estas la komuna solvo de ĉiu ekvacioj de la sistemo. Depende de la kvanto de solvoj, sistemo povas esti solvohava (unusolva aŭ plursolva) kaj sensolva.

Algebra ekvacio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Algebra ekvacio.

Algebra ekvacio estas ekvacio en formo W(x) = 0, kie W(x) estas polinomo de ŝtupo n unu kaj plu variantoj (n ≥ 0). Algebra ekvacio havas formon:

$\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0$

kie:

n - ne negativa entjero.

a₀, a₁, ..., a_n - elementoj de ia kampo. Ili nomas koeficienton de ekvacio.

x - varianto, kiu estas serĉata.

Oni lemis, ke koeficiento de ekvacio ne estas ĉiuj nulo. Se a_n ≠ 0, tiam n nomas ŝtupo de ekvacio. Valoroj de varianto x, kiuj estas radikoj de ekvacio aŭ radiko de polinomo.

Kvadrata ekvacio

Por trovi radikojn de kvadrata ekvacio $ax^{2}+bx+c=0$ oni kalkulas $\Delta =b^{2}-4ac$.

• Se $\Delta >0$, la ekvacio havas 2 radikojn: ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ kaj ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.
• Se $\Delta =0$, la ekvacio havas 1 radikon: ${\frac {-b}{2a}}$.
• Se $\Delta <0$, la ekvacio havas neniujn reelajn radikojn. Sed tiam estas du kompleksaj radikojn.

Fama ekvacio

Fama ekvacio estas E=mc² farita de Albert Einstein por esprimi sia teorio de ĝenerala relativeco.

Diferenciala ekvacio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Diferenciala ekvacio.

Diferenciala ekvacio estas ekvacio, en kiu derivaĵoj de nekonataj funkcioj aperas kiel variabloj. Multaj el la fundamentaj leĝoj de fiziko, ĥemio, biologio kaj ekonomiko povas esti formulitaj kiel diferencialaj ekvacioj. Diversaj sciencaj kampoj ofte havas identajn diferencialajn ekvaciojn. En ĉi tiaj okazoj, la matematika teorio ligas sufiĉe diversajn sciencajn kampojn.

La ordo de diferenciala ekvacio estas ordo de la plej alta derivaĵo kiun ĝi enhavas. Ekzemple, diferenciala ekvacio de la 1-a ordo enhavas nur unuajn derivaĵojn.

En matematikaj aplikoj ofte aperas problemoj, en kiuj la dependeco de unu parametro de alia estas nekonata, sed eblas skribi esprimon por la rapideco de ŝanĝo de unu parametro rilate al alia (derivaĵo). Ĉi-kaze la problemo reduktiĝas al trovado de funkcio per ĝia derivaĵo rilata al iuj aliaj esprimoj.

Specoj de diferencialaj ekvacioj

• Ordinara diferenciala ekvacio ODE nur enhavas funkciojn de unu nedependa variablo, kaj derivaĵoj de ĉi tiu variablo.
• Diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj PDE enhavas funkciojn de multaj nedependaj variabloj kaj iliaj partaj derivaĵoj.
• Malfrua diferenciala ekvacio DDE enhavas funkciojn de unu nedependa variablo, kaj derivaĵoj de la funkcioj estas en la ekvacio kune kun valoroj de la funkcioj rezultantaj de la aliaj (antaŭaj) valoroj de la nedependa variablo. (la termino "malfrua" estas pro tio ke la nedependa variablo ofte estas tempo).
• Stokasta diferenciala ekvacio SDE estas diferenciala ekvacio en kiu unu aŭ kelkaj variabloj estas stokastikaj, tial la rezultanta solvaĵo estas mem stokastiko.

Diferencialaj ekvacioj de ĉiu el ĉi tiuj kategorioj estas disdividita en linearajn kaj nelinearajn. Diferenciala ekvacio estas lineara se ĝi enhavas la nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn nur en la unua potenco; alie la diferencialah ekvacio estas nelineara. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la nedependa variablo t ): ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara; tie la solvo estas $u(t)=k\cdot e^{t}$, kun k reela nombro.

La ekvacioj

u' (t)= (u (t))²

(u' (t))² = u (t)

estas nelinearaj.

Linearaj ekvacioj ofte aperas kiel proksimumaĵoj al nelinearaj ekvacioj, kaj ĉi tiuj proksimumaĵoj estas nur validaj je limigitaj kondiĉoj.

Sistemoj de diferencialaj ekvacioj

Sistemo de diferencialaj ekvacioj estas aro de diferencialaj ekvacioj konsiderataj kune, kaj kvanto de la nekonataj funkcioj normale egalas al kvanto de la ekvacioj.

La ordo de sistemo de diferencialaj ekvacioj estas sumo de ordoj de la apartaj ekvacioj.

Ĉiu diferenciala ekvacio aŭ sistemo de diferencialaj ekvacioj de ordo n povas esti reformigita en sistemon de n diferencialaj ekvacioj, ĉiu el ili de ordo 1. Por ĉi tio necesas enkonduki aldonajn funkciojn, egalajn al derivaĵoj de la jam ekzistantaj nekonataj funkcioj. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la nedependa variablo t ):

Estu diferenciala ekvacio kun nekonata funkcio u(t) de la 3-a ordo

u' ' ' (t) + u' ' (t) + u(t) = 1 + t

Estu novaj nekonataj funkcioj:

v(t) = u' (t)

w(t) = v' (t)

kaj la difinoj supre fakte estas diferencialaj ekvacioj, ĉiu de la 1-a ordo. Tiam la ekvacio povas esti reskribita en formo

w' (t) + v' (t) + u(t) = 1 + t

kiu estas ekvacio de la 1-a ordo. Kaj kune kun la supraj difinoj por v(t) kaj w(t) ĝi formas sistemon el 3 ekvacioj de la 1-a ordo.

Linearaj homogenaj diferencialaj ekvacioj

Lineara homogena diferenciala ekvacio estas ekvacio, en kiu aŭ la nekonata funkcio aŭ ĝuste unu el ĝiaj derivaĵoj estas en ĉiu adiciaĵo en la ambaŭ flankoj. Ekzemple la ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara kaj homogena, ĉar ĝia konstanta termo nulas.

La ekvacio

u' (t) = u(t) + 1

estas lineara sed ne homogena, pro la adiciaĵo 1.

Se estas kelkaj solvaĵoj de la lineara homogena ekvacio, do ĉiu lineara kombinaĵo de la solvaĵoj ankaŭ estas la solvaĵo. Ĝenerala solvaĵo de lineara homogena ekvacio estas lineara kombinaĵo kun ĉiuj koeficientoj de kelkaj bazaj solvaĵoj. La solvaĵoj formas vektorspacon de iu dimensio, la dimensio povas esti kaj finia kaj malfinia.

Normale lineara homogena ordinara diferenciala ekvacio havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al ordo de la ekvacio. Sistemo de ĉi tiaj ekvacioj havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al sumo de ordoj de la ekvacioj.

Normale lineara homogena diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj kaj lineara homogena malfrua diferenciala ekvacio havas malfinian dimension de la spaco de solvaĵoj.

Geometrio

Analiza geometrio

Konika sekcio estas la intersekco de ebeno kaj konuso revolucia.

En Eŭklida geometrio, eblas asociigi serion de koordinatoj al ĉiu punkto en spaco, por ekzemplo pere de ortogona krado. Tiu metodo ebligas karakterizi geometriajn figurojn pere de ekvacioj. Ebeno en tri-dimensia spao povas esti esprimita kiel la solva aro de ekvacio laŭ la formulo $ax+by+cz+d=0$, kie $a,b,c$ kaj $d$ estas realaj nombroj kaj $x,y,z$ estas la nekonataĵoj kiuj korespondas al la koordinatoj de punkto en la sistemo difinita pere de la ortogona krado. La valoroj $a,b,c$ estas la koordinatoj de vektoro perpendikulara al la ebeno difinita pere de la ekvasio. Linio estas esprimita kiel la intersekco de du ebenoj, kio estas la solva aro de sollinia ekvacio kun valoroj en $\mathbb {R} ^{2}$ aŭ kiel la solva aro de du liniaj ekvacioj kun valoroj en $\mathbb {R} ^{3}.$

Konika sekcio estas la intersekco de konuso kun ekvacio $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ kaj ebeno. Alivorte, en la spaco, ĉiuj konikoj estas difinitaj kiel la solva aro de ekvacio de ebeno kaj de ekvacio de konuso ĝuste difinita. Tiu formalismo ebligas determini la poziciojn kaj la proprecojn de la fokusoj de koniko.

La uzado de ekvacioj ebligas la aliron al granda areo de matematiko por solvi geometriajn demandojn. la sistemo de karteziaj koordinatoj transformas geometrian problemon en analiza problemo, ĉar la figuroj estas transformataj en ekvacioj; kaj de tio devenas la nomo de analiza geometrio. Tiu vidpunkto, jam skizita fare de Descartes, pliriĉigis kaj modifas la tipon de geometrio konceptita de la antikvgrekaj matematikistoj.

Nuntempe, analiza geometrio designas aktivan branĉon de matematiko. Kvankam ĝi ankoraŭ uzas ekvaciojn por karakterizi figurojn, ĝi uzas ankaŭ aliajn kompleksajn teknikojn tiajn kiaj la "funkcia analizo" kaj la lineara algebro.