Operacio (matematiko)

Ĉi tiu artikolo temas pri kalkulo aŭ manipulo de matematikaj objektoj. Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Operacio.

En matematiko, operacio estas kalkulo aŭ alia manipulo plenumata super konataj kvantoj aŭ objektoj (nombroj, vektoroj, matricoj, aroj, ...) por eltrovi unu aŭ plurajn rezultojn. Ekzemple, la kvar bazaj operacioj de aritmetiko estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido.

Per plia formaligo de la kutima nocio "aritmetika operacio", oni difinas operacion sur aro E, kiel funkcion de E×E al E.

La ĝenerala nocio operacio estas vastigebla ankaŭ al funkcioj, kies fontaro estas kartezia produto de pli aŭ malpli (t.e. unu aŭ, cele al unuformeco de difinoj, 0) ol du (kutime, sed ne nepre identaj) aroj kaj la cela aro (denove, kutime, sed ne nepre) estas aro identa al unu el ili (sed povas esti alia aro, kiel, ekzemple, la skalara cela aro de la duvalenta operacio skalara produto de vektoroj).

Oni tiam parolas pri la argumentaj lokoj, aŭ operandoj; pri nulvalenta, unuvalenta, duvalenta, trivalenta, kvarvalenta aŭ ĝenerale n-valenta operacio, kie n estas la valento de la operacio, t.e. la nombro de ĝiaj operandoj.

Se, en tia ĝenerala situacio, kaj ĉiuj aroj, kies kartezia produto formas la fontan aron, kaj la cela aro estas kopioj de la sama aro, tiam la operacio nomiĝas interna operacio; alie temas pri ekstera operacio.

La kutimaj operacioj estas plejparte duvalentaj aŭ unuvalentaj (vd valento). Por koncepta unuformeco oni povas konsideri konstanton 0-valenta operacio.

Apartaj ecoj, kiujn povas havi duvalenta operacio:

• asocia - operacio * sur E estas asocia, se
  (x*y)*z = x*(y*z) por ĉiuj x, y, z el E;

• komuta - du elementoj x, y el E estas komutaj rilate al operacio * en E, se
  x*y = y*x;

• distribua - operacio * estas distribua rilate al operacio T, se por ĉiuj x, y, z validas la egalaĵoj
  x*(yTz) = (x*y)T(x*z) kaj (yTz)*x = (y*x)T(z*x).

Operacioj sur entjeraj kaj realaj nombroj

• Adicio – operacio por trovi la sumon de nombroj aŭ kvantoj. La signo de adicio estas + (plus). Se ni adicias 5 kaj 3, ni ricevos 8. 5 kaj 3 estas adiciatoj, 8 estas sumo.

• Subtraho – operacio por trovi la diferencon de la dua nombro per la unua nombro; La signo de subtraho estas − (minus). Ekz. ĉe la subtraho: 9−6=3 oni diras, ke 9 estas la malpliigato, 6 estas la subtrahato, 3 estas la diferenco.

• Multipliko – operacio, per kiu, se oni multiplikas nombron a per pozitiva entjero n, oni povas trovi la sumon de n ekzempleroj de nombro a. La signo de multipliko estas · aŭ ×. Ĉe la multipliko: a × b = c oni nomas a kaj b faktoroj, kaj c la produto, × estas la multiplika signo.

• Divido – operacio, kies celo estas scii, kiomoble unu kvanto (nomata dividato) entenas alian (nomatan dividanto); la rezulto nomiĝas kvociento. La signo por divido estas : (dupunkto) au / (stango). Ekz. a:b=a/b; a dividite per b egalas a sur b.

• Potenco – la produto de n faktoroj, el kiuj ĉiu egalas al a; ekz. 3⁴=3 x 3 x 3 x 3=81 aŭ la kvara potenco de tri. La nombro 4 estas eksponento. Kutime la operacio estas skribita per indekso, la eksponento tiam estas skribita kiel supra indekso.

• Radiko – la radiko de nombro a per alia nombro n estas tia nombro, ke ĝia potenco per n egalas al a: la noa radiko de 10; la radiko de 8 per 3 estas 2 (kuba radiko el 8); kvadrata radiko el 25 estas 5.

• Logaritmo (de pozitiva nombro a en logaritma sistemo kun bazo b) – La eksponento, per kiu oni devas potenci b por ekhavi a. Dekuma logaritmo estas kun bazo 10; natura logaritmo – kun bazo e=2,71828...

• Hiperoperatoro donas pluajn operaciojn en vico de adicio, multipliko, potencigo.

En la aro N (naturaj nombroj) ĉiam eblas la operacioj de la adicio, multipliko, potencigo, sed ne ĉiam subtraho, divido kaj radikado. Ekzemple, ne ekzistas natura nombro, kiu estas rezulto de la operacioj: 3−6 kaj 3:7. Por solvi ĉi-tiujn problemojn oni enkondukis la nociojn de negativaj nombroj kaj racionalaj nombroj.

Necesas bone distingi inter nombroj kaj numeroj, kiuj havas restriktitan aron da eblaj operacioj.

Operacioj sur vektoroj

• Skalara produto: du vektoroj eniras, rezulto estas skalaro (nombro)
• Vektora produto: du vektoroj eniras, rezulto estas vektoro