Diferencia entre revisiones de «Principio de Arquímedes»

El '''principio de Arquímedes''' es unel principio físico que afirma que: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un [[fluido]] en reposo, experimenta un [[empuje]] de abajovertical hacia arriba igual al [[peso]] del [[desplazamiento (fluido)|volumen del fluido que desaloja]]desalojado». Esta fuerza<ref group="nota">El empuje de abajo hacia arriba no siempre es suficiente para desplazar al cuerpo pues si este es más denso que el fluido en el que está inmerso dicho cuerpo no se desplazara hacia arriba, es más se hundirá a pesar del empuje arquimideanoarquimediano, solo que lo hará más lentamente. Subirá (''flotará'') solosolamente si su densidad es menor que la del fluido.</ref> recibe el nombre de '''empuje hidrostático''' o de [[Arquímedes]], y se mide en [[Newton (unidad)|newtons]] (en el [[Sistema Internacional de Unidades|SI]]). El principio de Arquímedes se formulaexpresa mediante la siguiente asífórmula:

donde '''''E''''' es el [[empuje]] [N], '''''Pe''''' es el peso específico del fluido [N/m^3],<ref>{{Cita libro |apellidos = Kubus educación |nombre = Ciencias Exactas|enlaceautor= |título = Guía exámenexamen para certificacíon COLBACH|url=|fechaacceso= |año = 2016 |editorial = Programas Educativos S.A. de C.V.|isbn= |editor = Programas Educativos S.A. de C.V. |ubicación = México |página = 135|idioma=Español |capítulo = Hidrostática}}</ref>, '''''ρ'''''_f es la [[densidad]] del fluido, '''''V''''' el «volumen de fluido desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, y '''''g''''' la [[intensidad del campo gravitatorio|aceleración de la gravedad]] y '''''m''''' la [[masa]]. De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (''en condiciones normales''<ref group="nota">En condiciones de ingravidez (''o pseudo-ingravidez por caída libre como sucede al orbitar'') y para cuerpos suficientemente pequeños que no puedan generar un campo gravitacional propio apreciable, la presión hidrostática deja de existir. En consecuencia, bajo esasestas condiciones no hay ninguna clase de empuje hacia ningún lado por ausencia de gradiente de presiones, lo cual implica que el principio de Arquímedes, en esas condiciones, “no«no es aplicable”aplicable».</ref> '' y descrito de modo simplificado''<ref group="nota">Las fuerzas que actúan hidrostáticamente sobre otro cuerpo lo hacen distribuidas por toda la superficie de contacto que tengan con el mismo; la integral de estas fuerzas de superficie (presiones) nos dará una resultante de fuerzas ubicada en el centro de gravedad. Esto nos permite válidamente y por simplicidad el imaginar abstractamente que está actuando una sola fuerza allí, pero lo concreto es que no existe en la realidad una fuerza aplicada en el centro de gravedad.</ref>) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en el [[centro de gravedad]] del cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de [[carena]].

Arquímedes creció en un ambiente donde la ciencia era familiar, ya que su padre, [[Fidias (astrónomo)|Fidias]], era astrónomo. Arquímedes reveló tempranamente particular disposición para los estudios. ViajóEstudió en Alejandría, probablemente en el Museo, el gran centro cultural patrocinado por los monarcas de la penínsuladinastía ibéricaptolemaica yde estudióEgipto.<ref>Diodoro enSículo, Alejandría''Biblioteca histórica'', V 37.</ref> Allí trabó amistad con el famoso [[Eratóstenes]] de Cirene, con quien efectuó la medición de la circunferencia terrestre. Probablemente a consecuencia de los estudios realizados con Eratóstenes, más que por tradición familiar, en Arquímedes nació la afición por la astronomía. Vuelto a Siracusa, se dedicó a sus estudios de matemática, física, geometría, mecánica, óptica y astronomía. En todas estas materias realizó investigaciones que aún hoy resultan difíciles para una persona de buena preparación.

La [[anécdota]] más conocida sobre [[Arquímedes]], [[Matemáticamatemática helénicagriega|matemático griego]], cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo con [[Marco Vitruvio|Vitruvio]], [[arquitecto]] de la [[antigua Roma]], una nueva corona con forma de [[corona triunfal]] había sido fabricada para [[Hierón II]], [[Tiranía (Antigua Grecia)tiranía|tirano]] gobernador de [[Siracusa (Sicilia)|Siracusa]], el cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha de [[oro]] puro o si un [[orfebrería|orfebre]] deshonesto le había agregado [[plata]].<ref>{{Cita web | título = ''De Architectura'', Book IX, paragraphs 9–129-12, text in English and Latin |autor = [[Vitruvius]] |editorial editorial= [[University of Chicago]] | url = http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Vitruvius/9*.html |fechaacceso = 30 de agosto de 2007}}</ref> Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su [[densidad]].

Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la [[Bañera|tina]] cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el [[volumen]] de la corona. Debido a que la compresión del agua -valor con el que no tenía familiaridad alguna, ya que su estudio es posterior- sería despreciable,<ref>{{Cita web | título = Incompressibility of Water|autor= | editorial =[[Harvard University]]Universidad |de Harvard |url = http://www.fas.harvard.edu/~scdiroff/lds/NewtonianMechanics/IncompressibilityofWater/IncompressibilityofWater.html |fechaacceso = 27 de febrero de 2008}}</ref> la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos le hubieran sido añadidos. Entonces, Arquímedes salió corriendo [[desnudez|desnudo]] por las calles, tan emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando «[[¡Eureka!]]» (en [[idioma griego antiguo|griego antiguo]]: «εὕρηκα», que significa «‘¡Lo he encontradoencontré!»’).<ref>{{Cita web |título título= Buoyancy |autor = [[HyperPhysics]] |editorial editorial=[[ Georgia State University]] | url = http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/pbuoy.html |fechaacceso = 23 de julio de 2007}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.longlongtimeago.com/once-upon-a-time/great-discoveries/eureka-the-story-of-archimedes-and-the-golden-crown/|title='Eureka!' – The Story of Archimedes and the Golden Crown|date=16 May 2014|website=Long Long Time Ago|fechaacceso=20 de marzo de 2023|fechaarchivo=2 de junio de 2019|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20190602004221/http://www.longlongtimeago.com/once-upon-a-time/great-discoveries/eureka-the-story-of-archimedes-and-the-golden-crown/|deadurl=yes}}</ref>

Dado que la historia se había transmitido de forma oral, durante el renacimiento fue cuestionada por la imprecisión de medir el volumen y el empuje por separado y dividirlos, y también por el hecho de que la descripción anterior no utiliza para nada el Principio de ArquimedesArquímedes. Galileo En 1586, [[Galileo Galilei|Galileo]], con solo 22 años, publicó el artículo La Bilancetta, en el que describía una forma de comparar densidades con una balanza sumergida y proponía que podría ser el dispositivo original del propio Arquímedes.<ref>Galileo Galilei, La Bilancetta. 1586.</ref><ref>{{cite web|url=https://physics.weber.edu/carroll/Archimedes/crown.htm|title=The Golden Crown|website=physics.weber.edu}}</ref>

La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes, pero en su tratado ''Sobre los cuerpos flotantes'' él da el principio de [[hidrostática]] conocido como el principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado; es decir, dados dos cuerpos que se sumergen en el seno de un fluido (ej:agua), el más denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más rápido, es decir, tarda menos tiempo para llegar a una posición de equilibrio. Esto sucede por el gradiente de presión que aparece en el seno del fluido, que es directamente proporcional a la profundidad de inmersión y al peso del propio fluido.<ref>{{Cita web | título = ''Archimedes' Principle'' |nombre = Bradley W |apellido = Carroll |editorial =[[ Weber State University]] | url = http://www.physics.weber.edu/carroll/Archimedes/principle.htm |fechaacceso = 23 de julio de 2007}}</ref>

Aunque el principio de Arquímedes fue introducido como principio, de hecho puede considerarse un teorema demostrable a partir de las [[ecuaciones de Navier-Stokes]] para un fluido en reposo. Mediante el [[teorema de Stokes]] (igualmente elEl principio de Arquímedes puede deducirse matemáticamente de las [[Ecuaciones de Euler (fluidos)|ecuaciones de Euler]] para un fluido en reposo, que a su vez pueden deducirse generalizando las [[leyes de Newton]] a un [[mecánica de medios continuos|medio continuo]]). PartiendoDe la misma manera, el principio de Arquímedes se puede deducir de las [[ecuaciones de Navier-Stokes]] para un fluido:

<math>\rho_f\left[\frac{\partpartial\mathbf{v}}{\partpartial t} +\mathbf{v}(\boldsymbol\nabla\cdot \mathbf{v})\right]= \mu\Delta\mathbf{v} - \boldsymbol\nabla p + \rho_f\mathbf{g}</math>

A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo sumergido en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge un sólido ''K'' en un fluido, en cada punto de su superficie aparece una fuerza por unidad de superficie <math>\scriptstyle \mathbf{f}</math> perpendicular a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del fluido ''p'' en ese punto. Si llamamos <math>\scriptstyle \mathbf{n} = (n_x,n_y,n_z)</math> al vector normal a la superficie del cuerpo podemos escribir la [[fuerza resultante|resultante]] de las fuerzas <math>\scriptstyle \mathbf{f} = -p\mathbf{n}</math> sencillamente mediante el teorema de Stokes de la divergencia:

F_x = \int_{V_K} \cfrac{\partpartial (-pn_x)}{\partpartial x} dV \\

F_y = \int_{V_K} \cfrac{\partpartial (-pn_y)}{\partpartial y} dV \\

F_z = \int_{V_K} \cfrac{\partpartial (-pn_z)}{\partpartial z} dV \end{cases}</math><br /><br /><br />

<math>\Rightarrow\qquad \mathbf{F} = \int_{\partpartial V_K} -p \mathbf{n}\cdot d\mathbf{S}=

donde la última igualdad se da solosolamente si el fluido es incompresible.

=== Otra demostración ===

Supongamos un cuerpo de volumen <math>V</math> sumergido en un fluido de densidad <math>\rho</math> , ahora podemos elegir pequeños elementos de área <math>dA</math>, tales que tiendan a ser un punto de la superficie del cuerpo.

Ahora si tomamos dos puntos de la superficie del cuerpo que estén conectados a través de una vertical tenemos una respectiva fuerza hacia abajo <math>F_{abajo_i}</math> y otra hacia arriba <math>F_{arriba_i}</math> y por ende una respectiva resultante <math>F_{n_i}= F_{arriba_i} - F_{abajo_i}</math>

:<math>F_{n_i}=p_0dA+\rho gh_{i2}dA - p_0dA-\rho gh_{i1}dA = \rho g(h_{i2}-h_{i1})dA</math>

:<math>F_{n_i}= \rho gdV_i</math>

:<math>E= F_n=\sum \rho gdV_i = \rho g\sum dV_i</math>

Donde la suma de todos los pequeños elementos de volumen del cuerpo, <math>\sum dV_i</math> , resulta ser el volumen total del cuerpo sumergido, es decir, <math>\sum dV_i = V</math>

Por lo tanto se llega a :

:<math>E= \rho gV</math>

Es decir, el empuje es proporcional al volumen del líquidofluido desplazado por el cuerpo, es decir proporcional al volumen del cuerpo sumergido.

Sabiendo que <math>m_{liquidofluido\, desplazado}= \rho V</math>, reemplazando se obtiene:

:<math>E= m_{liquidofluido\, desplazado}g </math>

Es decir, el empuje es igual al peso del líquidofluido desplazado.

=== Prisma recto ===

Para un prisma recto de base ''A_b'' y altura ''H'', sumergido en posición totalmente vertical, la demostración anterior es realmente elemental. Por la configuración del prisma dentro del fluido, las presiones sobre el área lateral solosolamente producen empujes horizontales que, además, se anulan entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, puesto que todos sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión es constante y podemos usar la relación ''Fuerzafuerza'' = ''presión'' x× ''Áreaárea'', y teniendo en cuenta la resultante sobre la cara superior e inferior, tenemos:

El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical y ascendente, cuando este se halla sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire y el "«peso"» que tiene el mismo cuando se lo introduce en un líquido. A este último se lo conoce como peso "«aparente"» del cuerpo, pues su peso en el líquido disminuye "«aparentemente"»; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia arriba que disminuye la resultante vertical.

== Notas y referencias ==