Elemento simétrico

En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto $A\,$ en el que se ha definido una operación matemática $\circledcirc$ , que anotamos: $(A,\circledcirc )\,$ , siendo la operación $\circledcirc$ , interna en $A\,$ :

{\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}

\exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a

Se dice que un elemento $a\in A$ tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación $\circledcirc$ si:

a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación $\circledcirc$ si:

a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e

elemento simétrico respecto de la operación $\circledcirc$ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e

Un elemento simétrico ${\bar {a}}$ de $A\,$ es simétrico por la derecha del elemento $a\,$ y simétrico por la izquierda del elemento $a\,$ .

Notación

Artículo principal: Elemento opuesto

Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.

La suma en el conjunto de los números enteros: $\mathbb {Z}$ ,

{\begin{array}{rccl}\oplus :&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\oplus b\end{array}}

es interna:

\forall a,b\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus b\in \mathbb {Z}

En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",

\forall a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists 0\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus 0=0\oplus a=a

El elemento simétrico de $a\,$ se denomina elemento opuesto de $a\,$ y se denota por: $-a\,$ .

Para dicho conjunto de números entero la operación suma: $\oplus$ , tenemos que:

a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists (-a)\in \mathbb {Z} \;:\quad (-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0

Artículo principal: Elemento inverso

Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.

La multiplicación en el conjunto de los números racionales: $\mathbb {Q}$ ,

{\begin{array}{rccl}\odot :&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}

es interna:

\forall a,b\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot b\in \mathbb {Q}

En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":

\forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad \exists 1\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot 1=1\odot a=a

El elemento simétrico de $a\,$ se denomina elemento inverso de $a\,$ y se denota por $a^{-1}\,$ o por ${\frac {1}{a}}.$

Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:

\forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad a\neq 0\;,\quad \exists {\frac {1}{a}}\in \mathbb {Q} \;:\quad {\frac {1}{a}}\odot a=a\odot {\frac {1}{a}}=1