Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad que se encuentra en diversas áreas de la matemática, como el álgebra lineal,​ el análisis matemático​ y la teoría de probabilidades.​

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888).

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Sea $V$ un espacio vectorial complejo con producto escalar. Los vectores $u,v\in V$, cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

$|(u,v)|^{2}\leq (u,u)(v,v)$

Donde $(\cdot ,\cdot )$ es el producto escalar.

Demostración

Tomemos la combinación de vectores $\lambda u-\mu v$, con $\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$. El producto de este vector por sí mismo es siempre mayor o igual que cero, por las propiedades del producto escalar.

$(\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)\geq 0$

Aplicando la linealidad por la derecha del producto escalar, se puede desarrollar la expresión anterior.

$|\lambda |^{2}(u,u)-{\bar {\lambda }}\mu (u,v)-{\bar {\mu }}\lambda (v,u)+|\mu |^{2}(v,v)\geq 0$

Esta desigualdad debe cumplirse para cualquier valor de los escalares $\lambda$ y $\mu$. En particular, se cumple para $\lambda =(u,v)$,$\mu =(u,u)$. Sustituyendo estos valores en la desigualdad:

$|(u,v)|^{2}(u,u)-2|(u,v)|^{2}(u,u)+(u,u)^{2}(v,v)\geq 0$

Y finalmente:

$(u,u)(v,v)\geq |(u,v)|^{2}$

Q.E.D

La desigualdad se satura (se vuelve igualdad) si y solo si los vectores son linealmente dependientes entre sí.

Caso Particular: Desigualdad en un espacio vectorial $V$ sobre $\mathbb {R} ^{n}$

Sean $a_{1},...,a_{n}$ y $b_{1},...,b_{n}$ números reales cualesquiera.

Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz $\left(\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}\right)$ Además la igualdad se verifica si y sólo si existe un número real $x$ tal que $a_{k}x+b_{k}=0$ para cada $k=1\dots n.$

Demostración

Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos lo siguiente:

$\sum _{k=1}^{n}{(a_{k}x+b_{k})^{2}}={\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}}{\Bigr )}x^{2}+2{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}{\Bigr )}x+\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}\geq 0$

para todo número real $x$; y se cumple la igualdad si y sólo si cada término de la suma ($a_{k}x+b_{k}$, para todo k) es igual a cero.

Esta desigualdad puede escribirse en la forma:

$Ax^{2}+2Bx+C\geq 0$

donde:

$A=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}},\quad B=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}},\quad C=\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}$

La ecuación anterior determina un polinomio cuadrático que no podrá tener dos raíces reales porque siempre es mayor o igual que 0. Por lo tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero:

$\Delta =(2B)^{2}-4AC=4(B^{2}-AC)\leq 0,$

Por lo tanto:

$B^{2}\leq AC$, y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma: $(a\cdot {}b)^{2}\leq \left\|{a}\right\|^{2}\left\|{b}\right\|^{2}$

donde

$a=(a_{1},...,a_{n}),b=(b_{1},...,b_{n})$ son dos vectores n-dimensionales, $a\cdot {}b=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}$ es su producto escalar y $\left\|{a}\right\|={\sqrt[{}]{(a\cdot {}a)}}$ es la norma de a.

Curiosidades

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.
• La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

Véase también

• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Hölder

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cauchy_Schwarz_inequality&oldid=28863», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

• Datos: Q190546