Difeomorfism

Difeomorfism on bijektiivne pidevalt diferentseeruv kujutus, mille pöördkujutus on samuti pidevalt diferentseeruv.

Selle kujutus määramis- ja muutumispiirkonnad võivad olla vektorruumi $\mathbb {R} ^{n}$ lahtised hulgad või üldisemalt diferentseeruvad muutkonnad. Vastavalt diferentseeruvusklassile räägitakse $C^{k}$-difeomorfismidest ($k\in \{1,2,\dots ,\infty ,\omega \}$).

Joonis kujutab ruudu difeomorfismi iseendaks

Definitsioon

Vektorruum

Kujutust vektorruumi $\mathbb {R} ^{n}$ ühest lahtisest alamhulgast teise $f\colon U\to V$ nimetatakse difeomorfismiks,

• $f$ on bijektiivne
• $f$ on kõikjal pidevalt diferentseeruv
• pöördkujutus $f^{-1}$ on kõikjal pidevalt diferentseeruv

Kui $f$ ja $f^{-1}$ on $k$ korda pidevalt diferentseeruvad (ehk klassist $C^{k}$“, $k=1,2,3,\dotsc$), siis nimetatakse kujutust $f$ $C^{k}$-difeomorfismiks. Kui $f$ ja $f^{-1}$ on mis tahes arv kordi diferentseeruvad (ehk klassist $C^{\infty }$), siis nimetatakse kujutust $f$ $C^{\infty }$-difeomorfismiks. Kui $f$ ja $f^{-1}$ on mõlemad analüütilised (ehk klassist $C^{\omega }$), siis nimetatakse kujutust $f$ $C^{\omega }$-difeomorfismiks.

Kujutust $f\colon U\to V$ lahtiste alamhulkade vahel $U,V\subset \mathbb {R} ^{n}$ nimetatakse lokaalseks difeomorfismiks, kui igal punktil $p\in U$ on niisugune lahtine ümbrus $W\subset U,$ et selle kujutis $f(W)\subset V$ on lahtine ning kujutuse $f$ ahend $f|_{W}\colon W\to f(W)$ hulgale $W$ on difeomorfism.