Homomorfism

Homomorfism on kujutus ühest algebralisest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad tehted ja/või seosed.

Definitsioon ja selgitus

Matemaatikas tähendab homomorfism sama tüüpi algebraliste struktuuride vahelist niisugust kujutust, mille puhul vaadeldavad operatsioonid säilivad.

Näiteks, kui on antud hulk X osalise järjestusega <, ja teine hulk Y osalise järjestusega, siis kujutus f: X -> Y hulgast X hulka Y on homomorfism kui

kui    u < v    siis    f(u) { f(v).

Kui hulkadel X ja Y on defineeritud binaarsed tehted, vastavalt * ja @, siis kujutus f on homomorfism, kui

f(u) @ f(v)  = f(u * v).

Homomorfismid on näiteks

• rühmade homomorfismid,
• ringide homomorfismid,
• vektorruumide homomorfismid ehk lineaarsed operaatorid
• pidevad kujutused.

Homomorfismi tuum

Iga homomorfism f: X -> Y defineerib algebraliste struktuuride ekvivalentsiseose ehk kongruentsi ~ algebralisel struktuuril X:

a ~ b parajasti siis, kui f(a) = f(b).

Kongruentsi ~ nimetatakse homomorfismi f tuumaks. Vastaval faktorhulgal X/~, mida nimetatakse X faktoralgebraks kongruentsi ~ järgi, saab loomulikul viisil anda algebra struktuuri, näiteks [x] * [y]  = [x * y]. Tänu viimasele on algebra X kujutis algebras Y isomorfne algebraga X/~. See tõik on üks isomorfismiteoreemidest.

Teatud juhtudel (näiteks rühmade ja ringide puhul) piisab faktoralgebra määramiseks ühestainsast ekvivalentsiklassist K. Sel juhul tähistatakse seda faktoralgebrat X/K ja homomorfismi tuumaks mitte kongruentsi ~, vaid ekvivalentsiklassi K.

Universaalalgebrate homomorfismid

Definitsioon

Olgu A=<A, f(1),...,f(n)> ja B=<B, g(1),...,g(n)> sama signatuuriga universaalalgebrad ning h : A → B funktsioon, mis kujutab hulga A hulka B. Olgu i=1,...,n korral a(i) tehete f(i) ja g(i) aarsus (need aarsused peavad olema võrdsed, sest algebratel A ja B on sama signatuur). Siis h on algebra A homomorfism algebrasse B, kui iga i=1,...,n korral ja hulga A elementide iga a(i)-korteeži (x(1),...,x(a(i))) korral kehtib võrdus (f(i)(x(1),...,x(a(i))))=g(i)(h(x(1)),...,h(x(a(i)))). See tähendab, et iga i=1,...,n korral kujutab kujutus h tehte f(i) tehteks g(i).

Näited

Näide 1

Olgu G=<G, +, –, 0> ja H=<H, +′, –′, 0′> Abeli rühmad ja h : G → H. Eeldame, et kõikide a, b korral rühmast G kehtib võrdus h (a + b) = h(a) +′ h(b). Siis h on rühma G homomorfism rühma H. Tõepoolest, eelduse põhjal võib öelda, et h kujutab rühmatehte + rühmatehteks +′. Peale selle on kerge näidata, et h kujutab rühma G rühmatehte Ühikelemendi 0 rühma H rühmatehte ühikelemendiks 0′, nii et kehtib võrdus h(0) = 0′. Analoogiliselt on kerge näidata, et iga a ∈ G korral kehtib h(–a) = –′ h(a).

Näide 2

Vaatame funktsiooni f(x) = 2^x reaalarvude hulgast, kus on defineeritud (ainult) liitmine, positiivsete reaalarvude hulka, kus on defineeritud (ainult) korrutamine. Antud tehete suhtes on funktsioon f rühmade, täpselmalt Abeli rühmade, homomorfism:

f (x + y) = f (x) · f (y).

Homomorfismide tüübid

• Homomorfismi, mis on ühtlasi bijektsioon, mille pöördkujutus on samuti homomorfism, nimetatakse isomorfismiks. Kaks isomorfset objekti on vaatlusaluse struktuuri poolest eristamatud.
• Homomorfismi iseendasse nimetatakse endomorfismiks, ja kui see on ühtlasi isomorfism, siis nimetatakse seda automorfismiks.
• Homomorfismi, mis on sürjektiivne, nimetatakse epimorfismiks.
• Homomorfismi, mis on injektiivne, nimetatakse monomorfismiks.

Kirjandus

• Gräzin, Igor jt (toimetaja), 1985. Filosoofia leksikon. Tallinn.
• Schmidt, Heinrich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgart. (venekeelne tõlge, 2003, Moskva. ISBN 5-250-01794-0.)
• Novaja filosofskaja entsiklopedija. 2001, Moskva. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1).
• Smirnov, D. M., 1979. Gomomorfizm. Matematitšeskaja entsiklopedija, tom 1, Moskva.
• McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.