Lebesgue'i mõõt

Lebesgue'i mõõt üle $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ on Jordani mõõdu jätk palju laiemale hulkade klassile, mille tõi sisse Henri Lebesgue 1902. aastal.

Mõõdu ülesehitamine sirgel

Välismõõt

Iga suvalise alamhulga $\displaystyle E$ jaoks saab leida arvsirgel palju erinevaid lõplikust või loenduvast intervallide arvust koosnevaid süsteeme, mille ühend sisaldab hulka $\displaystyle E$. Sellist tüüpi süsteemi nimetatakse katteks. Kuna intervallide pikkuste summa, mis moodustab suvalise kate, on mittenegatiivne suurus, siis on see alt piiratud. Seega kõikide katete pikkuste hulgal on olemas alumine raja. See raja, mis sõltub ainult hulgast $\displaystyle E$, ongi välismõõt:

   $\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.$

Erinevad võimalused välismõõdu tähistamiseks:

   $\displaystyle m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.$

Suvalise intervalli välismõõt ühtib tema pikkusega, mis näitab, et Lebesgue'i mõõt on loenduvalt aditiivne. Täpsemalt, nimetatud loenduv aditiivsus annab $\displaystyle m(a,b)\leq m^{*}(a,b)$ ning vastandvõrratus on tõepoolest ilmne ja tuleneb välismõõdu definitsioonist. Veelgi enam, algebral saab tuua sellise mõõdu näite, et selle algebra mingisuguse hulga välismõõt on rangelt väiksem tema algmõõdust.

Välismõõdu omadused

• $\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\Rightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}$ (monotoonsus)
• $\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Rightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*}E_{k}$ (loenduv subaditiivsus)
• $\displaystyle \forall E,\;\varepsilon >0\;\exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon$, kus $\displaystyle G$ on lahtine hulk. Tõepoolest, piisab võtta $\displaystyle G$ rolli sellist intervallide summat, mis moodustab $\displaystyle E$ katet ning seejuures kehtib $\displaystyle \sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon$. Sellise katte olemus järeldub alumise raja definitsioonist.

Sisemõõt

Kui hulk $\displaystyle E$ on tõkestatud, siis hulga $\displaystyle E$ sisemõõduks nimetatakse $\displaystyle E$ sisaldava segmendi pikkuse $\displaystyle [a,b]$ ja $\displaystyle E$ täiendi välismõõdu vahelist vahet lõigus $\displaystyle [a,b]$:

   $\displaystyle m_{*}E=(b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E).$

Tõkestamata hulkade jaoks defineeritakse $\displaystyle m_{*}E$ nagu ülemine raja $\displaystyle (b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E)$ üle kõikide lõikude $\displaystyle [a,b]$.

Mõõtuvad hulgad

Hulka nimetatakse Lebesgue'i mõttes mõõtuvaks, kui tema välis- ja sisemõõt on võrdsed. Viimaste ühine nimetus on Lebesgue'i hulga mõõt ja seda tähistatakse $\displaystyle mE$, $\displaystyle muE$, $\displaystyle |E|$, $\displaystyle \lambda (E)$ või $\displaystyle mesE.$

Ajalugu

Henri Lebesgue teatas enda loengute ajal, et tema eesmärgiks oli leida üles mõõt reaalteljel, mis eksisteeriks kõikide tõkestatud hulkade jaoks ja rahuldaks järgmist kolme tingimust:

1. Kongruentnsetel hulkadel on võrdne mõõt (ehk mõõt on muutumatu sümmeetria ja poolitamise tehete suhtes).
2. Mõõt on loenduvalt aditiivne.
3. Intervalli (0,1) mõõt on võrdne 1-ga.

Lebesgue konstruktsioon haaras suurt klassi reaalarvude hulki ning defineeris mõõtuvate funktsioonide hulga, palju laiema kui analüütiliste funktsioonide hulk. Sealjuures igasugune mõõtuv funktsioon lubas kasutada analüütilisi meetodeid. Selleks ajaks eksisteeris üldine mõõdu teooria, mis oli E. Boreli välja töötatud (1898), ning esimesed Lebesgue’i tööd põhinesidki sellel. Kuid Lebesgue’i dissertatsioonis (1902) oli mõõdu teooria oluliselt üldistatud ning see sai nimeks „Lebesgue'i mõõt“. Lebesgue defineeris ära tõkestatud mõõtuvad funktsioonid ja integraalid ning näitas, et „tavalised“ tõkestatud funktsioonid, mida uuritakse matemaatilises analüüsis, on mõõtuvad. Aastal 1904 üldistas Lebesgue enda teooriat veelgi rohkem, võttes maha funktsiooni tõkestatuse tingimuse. Juba järgmisel aastal (1905) näitas G. Vitali, et mõõt, mis rahuldab kolme ülaltoodud tingimust, ei haara kõiki tõkestatud reaaltelje hulkasid. Ta tekitas hulga, millel ei leidunud mõõtu antud tingimustega. Veelgi enam, 1914. aastal tõestas F. Hausdorf, et isegi kui asendada loenduva aditiivsuse tingimuse palju nõrgema lõpliku aditiivsuse tingimusega, saab ikka leida tõkestatud mittemõõtuvaid hulki kolmedimensioonilises ruumis.

Lebesgue’i uurimused võeti kasutusele paljude matemaatikute seas, nt E. Borel, M. Riesz, G. Vitali, M. R. Frechet jt.