Elektroniikan suodattimet

Johdanto

Suodatin on elektroninen piiri, jonka avulla signaalia muokataan halutunlaiseksi. Yksi tavallisimpia suodattimen sovelluksia on taajuuden perusteella tapahtuva signaalien valikoiminen. Esimerkiksi radiovastaanottimessa halutaan esivahvistimelle vain tietyntaajuiset signaalit, ja kaiuttimessa suodatetaan korkeat taajuudet diskanttielementille ja matalat taajuudet bassoelementille jne.

Suodattimen toiminta voidaan esittää siirtofunktion avulla. Siirtofunktio kertoo lähtö- ja tulojännitteen suhteen. Esimerkiksi yksinkertaisen alipäästösuodattimen siirtofunktio voi olla

${\Big |}{\frac {U_{\mathrm {out} }}{U_{\mathrm {in} }}}{\Big |}={\frac {1}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {f}{f_{0}}}{\big )}^{2}}}}$,

missä $f$ on signaalin taajuus ja $f_{0}$ suodattimen ominaistaajuus. Kun $f=0$ eli suodattimeen tulee tasajännite, siirtofunktio saa arvon 1 eli tulojännite näkyy sellaisenaan lähdössä ilman vaimennusta. Koska $f$ on yhtälön nimittäjässä, siirtofunktio saa sitä pienemmän arvon mitä suurempi on taajuus ja suodatin toimii alipäästösuodattimena. Itseisarvomerkit jännitteen ympärillä korostavat, että kyse on jännitteen amplitudista.

Suodattimet voidaan jakaa toteutustavan perusteella digitaalisiin ja analogisiin suodattimiin. Digitaalisessa suodattimessa signaalin suodattaminen tapahtuu digitaalipiirillä. Analogiset suodattimet voidaan jakaa vielä aktiivisiin ja passiivisiin suodattimiin. Passiivinen suodatin on toteutettu passiivisilla komponenteilla kuten keloilla, kondensaattoreilla ja vastuksilla, eikä tarvitse ulkoista energianlähdettä. Aktiivinen suodatin voidaan toteuttaa esimerkiksi operaatiovahvistimen avulla.

Suodatintyypit ja asteluku

Suodattimen käyttäytymisen määrää suodattimen siirtofunktion tyyppi. Suodattimet voidaan jaotella siirtofunktion perusteella alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö-, kaistanesto- ja kokopäästösuodattimiin. Siirtofunktion tyypin lisäksi sen asteluku vaikuttaa suodattimen toimintaan ja erityisesti sen jyrkkyyteen. Mitä suurempi asteluku, sitä jyrkempiä siirtofunktioita on mahdollista toteuttaa. Jyrkkyydellä tarkoitetaan sitä, kuinka nopeasti suodattimen vaste vaimenee siirryttäessä päästökaistalta estokaistalle.

Alipäästösuodatin

Yksinapainen RC-alipäästösuodatin

Alipäästösuodatin (eng. low-pass filter) on suodatinrakenne, joka päästää läpi matalataajuiset ja vaimentaa eli suodattaa korkeataajuiset signaalit.

Yksinkertainen RC-alipäästösuodatin voidaan toteuttaa vastuksen ja kondensaattorin jännitteenjakokytkennän avulla (kuvassa). Pienillä taajuuksilla kondensaattorin läpi kulkee vähän virtaa, jolloin vastuksen yli muodostuu vain pieni jännitehäviö ja signaali ei juurikaan vaimene. Suurilla taajuuksilla kondensaattori näyttää lähes oikosululta, jolloin ulostulojännite on lähellä nollaa. Kuvan RC-piirin lähtö- ja tulojännitteen välillä vallitsee riippuvuus

${\Big |}{\frac {V_{\mathrm {out} }}{V_{\mathrm {in} }}}{\Big |}={\frac {1}{\sqrt {1+(2\pi RCf)^{2}}}}$.

Jos merkitään $f_{0}={\frac {1}{2\pi RC}}$, siirtofunktio on sama kuin johdannossa esitetty alipäästösuodattimen siirtofunktio.

Ensimmäisen asteen alipäästösuodattimen yleinen siirtofunktio on muotoa

${\frac {U_{\mathrm {out} }}{U_{\mathrm {in} }}}=H(s)={\frac {1}{s+1}}$

ja toisen asteen siirtofunktio on muotoa

$H(s)={\frac {1}{s^{2}+2Ds+1}}$,

missä $s$ on Laplace-muuttuja ja $D$ suodattimen vaimennusvakio. Siirtofunktio voidaan myös kertoa vakiotermillä, mikäli suodatin sisältää vahvistusta tai vaimennusta. Tekemällä sijoitus $s=j\omega$ saadaan lauseke, joka kertoo suodattimen siirtofunktion sinimuotoisille jännitteille kompleksilukuna. Kompleksiluvun itseisarvo kertoo lähtö- ja tulojännitteen amplitudien suhteen ja kompleksiluvun kulma kertoo signaalien välisen vaihesiirron. Sijoittamalla $\omega =0$ nähdään, että molempien siirtofunktioiden arvo on tasajännitteellä 1, toisin sanoen signaali pääsee vaimentumatta suodattimen läpi. Koska muuttuja $s$ on nimittäjässä, taajuuden kasvaessa lähtöjännite pienenee.

Useampiasteinen alipäästösuodatin saadaan rakennettua ensimmäisen ja toisen asteen siirtofunktioiden tulona. Käytännön kytkennöissä tämä voidaan toteuttaa kytkemällä peräkkäin erilaisia suodatinlohkoja.

Vaimennusvakion $D$ sijasta alan kirjallisuudessa käytetään myös hyvyyslukua Q ja vaimennuskerrointa $d$. Näiden välillä vallitsee yhteys

$Q={\frac {1}{2D}}={\frac {1}{d}}$

Ylipäästösuodatin

Ylipäästösuodatin (eng. high-pass filter) päästää läpi korkeataajuiset ja vaimentaa matalataajuiset signaalit. Vaihtamalla edellisen otsikon alipäästösuodattimessa vastuksen ja kondensaattorin paikkaa keskenään, saadaan ensimmäisen asteen ylipäästösuodatin. Ylipäästösuodattimen ensimmäisen ja toisen asteen siirtofunktiot ovat muotoa

$H(s)={\frac {s}{s+1}}$

ja

$H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2Ds+1}}$.

Erona alipäästösuodattimen siirtofunktioon muuttuja $s$ sijaitsee myös osoittajassa. Tällöin tasajännite ($\omega =0$) ei pääse suodattimen läpi.

Kaistanpäästö- ja kaistanestosuodatin

Kaistanpäästösuodatin päästää läpi vain tietyn taajuusalueen signaalit ja vaimentaa muita signaaleja. Kaistanpäästösuodatin on aina vähintään toista astetta, ja sen yleinen siirtofunktio on muotoa

$H(s)={\frac {s}{s^{2}+2Ds+1}}$.

Kaistanestosuodatin toimii päinvastoin kuin kaistanpäästösuodatin. Suodatin suodattaa jonkin tietyn taajuuskaistan signaalit. Kuten kaistanpäästösuodatin, kaistanestosuodatin on aina vähintään toista astetta, ja sen siirtofunktio on muotoa

$H(s)={\frac {s^{2}+1}{s^{2}+2Ds+1}}$.

Kokopäästösuodatin

Kokopäästösuodattimen vaimennus ei riipu taajuudesta. Ainoastaan vaihekulma muuttuu taajuuden funktiona. Tällainen käyttäytyminen voidaan toteuttaa seuraavilla ensimmäisen ja toisen asteen siirtofunktioilla:

$H(s)={\frac {s-1}{s+1}}$

ja

$H(s)={\frac {s^{2}-2Ds+1}{s^{2}+2Ds+1}}$.

Taajuusmuunnokset

Mikäli suodattimen ominaiskäyrää haluaa siirtää taajuusakselilla, se onnistuu tekemällä sijoitus $s\to {\frac {s}{\omega _{0}}}$, missä $\omega _{0}$ on piirin uusi ominaistaajuus. Sijoituksen jälkeen alkuperäisen siirtofunktion ominaistaajuus siirtyy paikkaan $\omega _{0}$. Sopivilla sijoituksilla voi alipäästösuodattimen muuntaa miksi tahansa muuksi suodatintyypiksi. Esimerkiksi sijoittamalla alipäästösuodattimen siirtofunktioon

$s\to {\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}{\Big (}{\frac {s}{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{s}}{\Big )}$

saadaan kaistanpäästösuodatin, jonka keskikulmataajuus on $\omega _{0}$ ja kaistanleveys radiaaneina $\Delta \omega$.

Käytännön toteutuksia

Sallen-Key –piiri

Sallen-Key on toisen asteen aktiivinen suodatinpiiri, joka on toteutettu operaatiovahvistimen ja kahden vastuksen ja kahden kondensaattorin avulla. Sallen-Key on yksinkertaisuutensa vuoksi varsin suosittu suodatintopologia.

Alipäästösuodatin

Sallen-Key -alipäästösuodattimen siirtofunktio on

${\frac {V_{\mathrm {out} }}{V_{\mathrm {in} }}}={\frac {1}{s^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}+sC_{2}(R_{1}+R_{2})+1}}$

Ylipäästösuodatin

Sallen-Key -ylipäästösuodattimen siirtofunktio on

${\frac {V_{\mathrm {out} }}{V_{\mathrm {in} }}}={\frac {s^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}{s^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}+sR_{1}(C_{1}+C_{2})+1}}$

Kirjallisuutta

• Kimmo Silvonen: Sähkötekniikka ja elektroniikka[1] (Otatieto 2003, ISBN 951-672-335-7)
• M. E. Van Valkenburg: Analog Filter Design (Oxford University Press 1982, ISBN 0-19-510734-9)

Aiheesta muualla

• Suodattimet wiki.ham.fi:ssa
• Java-appletti siirtofunktioiden piirtämiseen