LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona. Tällöin siis matriisi

$M=LU\,$

missä $L$ on alakolmiomatriisi ja $U$ yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin $L$ diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi $3\times 3$-matriisille LU-hajotelma on siis

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{12}&1&0\\l_{13}&l_{23}&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}$

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseen

LU-hajotelman avulla matriisin $A\,$ determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin $U\,$ diagonaalialkoiden tulo eli

$\det A=\Pi _{i=1}^{n}u_{ii}$

Käyttö käänteismatriisin laskemiseen

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä

$LU{\vec {x}}_{i}={\vec {e}}_{i}$

missä kukin ${\vec {e}}_{i}$ on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin ${\vec {x}}_{i}$ on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myös

• QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
• Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8