Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions $L p$ , comme les espaces de suites $ℓ p$ . C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Énoncé

Soient

$S$ un espace mesuré,

$p,q>0$ (la valeur $+\infty$ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison » ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$

$f\in L^{p}(S)$ et $g\in L^{q}(S)$ .

Alors, le produit $fg$ appartient à $L^{1}(S)$ et sa norme est majorée naturellement :
$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Plus généralement^[1], pour $0<p,q\leq +\infty$ et $r$ défini par

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}

,

si $f\in L^{p}(S)$ et $g\in L^{q}(S)$ alors $fg\in L^{r}$ et $\lVert fg\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}$ .

De plus, lorsque $p$ et $q$ sont finis, il y a égalité si et seulement si $|f|^{p}$ et $|g|^{q}$ sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe $\alpha$ et $\beta$ non simultanément nuls tels que $\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}$ p.p.

Démonstration

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young^[2].

Exemples

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où $p = q =2$ dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour $1 \leq p, q \leq +\infty$ avec $1/ p + 1/ q$ = 1 et pour tous vecteurs $x$ et $y$ de ℝⁿ (ou de ℂⁿ), l'inégalité

\sum _{k=1}^{n}|x_{k}\ y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}.

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme $ℓ p$ : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si $(x k)$ et $(y k)$ sont respectivement dans les espaces de suites $ℓ p$ et $ℓ q$ , alors la suite « produit terme à terme » $(x k y k)$ est dans $ℓ 1$ .

Cas extrémal

Soient $1 \leq p, q \leq +\infty$ avec $1/ p + 1/ q$ = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et $f$ ∈ $L p$ (S).

Si $p < +\infty$ , alors $\|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{q}(S),~\|g\|_{q}\leq 1\right\},$

Si $p = +\infty$ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = $+\infty$ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < $+\infty$ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie^[3]), alors $\|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{1}(S),~\|g\|_{1}\leq 1\right\}.$

Démonstration^[4]

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par $║ f ║ p$ .

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme $p$ de

f

, que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que

\|f\|_{p}=1.

Si $p < +\infty$ , la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction $g$ définie sur S par $g(x)={\begin{cases}|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{si }}f(x)\neq 0,\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}$ appartient à $L q$ où sa norme vaut 1 et l'on a $\int fg~\mathrm {d} \mu =1=\|f\|_{p}.$
Si $p = +\infty$ , soient ε ∈]0, 1[et A = [| $f$ | > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque $║ f ║ \infty$ = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction $g$ définie sur S par $g(x)={\begin{cases}{\frac {|f(x)|}{\mu (B)f(x)}}&{\text{si }}x\in B,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$ appartient alors à $L 1$ où sa norme vaut 1 et l'on a $\int fg~\mathrm {d} \mu =\int _{B}{\frac {|f|}{\mu (B)}}~\mathrm {d} \mu \geq 1-\varepsilon .$ La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à $║ f ║ \infty$ .

Remarques sur le cas $p = +\infty$

Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si $x$ est la suite de $ℓ \infty$ définie par $x k = 1 - 2 - k$ alors, pour toute suite non nulle $y$ de norme inférieure ou égale à 1 dans $ℓ 1$ , $\left|\sum x_{k}y_{k}\right|\leq \sum (1-2^{-k})|y_{k}|<\sum |y_{k}|\leq 1=\|x\|_{\infty }.$
Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si $f$ est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que $║ f ║ \infty$ = 1.

Applications

L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces $L p$ associés à une mesure finie de masse totale $M$ : $0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{r}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\forall g\in \mathrm {L} ^{q},\|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}.$ (Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de $L p$ si $p$ ≥ 1.
Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de $L p$ est $L q$ (avec $1/ p + 1/ q = 1$ ) si $1 < p < +\infty$ ^[5], et aussi si $p$ = 1 quand la mesure est σ-finie.

Généralisation

L’inégalité de Hölder avec $1/ p + 1/ q = 1/ r$ se généralise immédiatement à $n$ fonctions, par récurrence :

Soient $0 < r, p 1, \dots, p n \leq +\infty$ tels que
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}$
et $n$ fonctions $f k$ ∈ $L p k$ (S). Alors, le produit des $f k$ appartient à $L r$ (S) et
$\left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}.$
De plus, lorsque tous les $p k$ sont finis, il y a égalité si et seulement si les $| f k | p k$ sont colinéaires p.p.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hölder's inequality » (voir la liste des auteurs).

↑ Si $s<1$ , ║ ║_s n'est pas une norme en général, mais cela n'intervient pas dans la démonstration.
↑ Voir par exemple (pour la seconde méthode) Bernard Maurey, « Intégration et Probabilités (M43050), cours 15 », sur université Paris VII - Diderot, 2010 ou (pour les deux) cet exercice corrigé sur Wikiversité.
↑ Comme la mesure de dénombrement sur un ensemble au plus dénombrable ou la mesure de Lebesgue sur ℝⁿ.
↑ Maurey 2010.
↑ (en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP, 2004, 184 p. (ISBN 978-0-521-60372-0, lire en ligne), p. 120, remarque : « Curieusement, la propriété que chaque élément de $L p *$ atteint sa norme est équivalente au fait que $L p$ est réflexif, sans avoir en fait rien besoin de savoir sur l'espace dual $L p *$ ! ».

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Portail de l'analyse

[1] Si $s<1$ , ║ ║_s n'est pas une norme en général, mais cela n'intervient pas dans la démonstration.

[2] Voir par exemple (pour la seconde méthode) Bernard Maurey, « Intégration et Probabilités (M43050), cours 15 », sur université Paris VII - Diderot, 2010 ou (pour les deux) cet exercice corrigé sur Wikiversité.

[3] Comme la mesure de dénombrement sur un ensemble au plus dénombrable ou la mesure de Lebesgue sur ℝⁿ.

[4] Maurey 2010.

[5] (en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP, 2004, 184 p. (ISBN 978-0-521-60372-0, lire en ligne), p. 120, remarque : « Curieusement, la propriété que chaque élément de $L p *$ atteint sa norme est équivalente au fait que $L p$ est réflexif, sans avoir en fait rien besoin de savoir sur l'espace dual $L p *$ ! ».

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