Fraction irréductible

Une fraction irréductible est, en mathématiques, une fraction ${\frac {a}{b}}$ où le numérateur a est un entier et le dénominateur b un entier strictement positif, de telle façon qu'il n'existe pas d'autre fraction ${\frac {c}{d}}$ représentant le même nombre avec c plus petit que a en valeur absolue, c et d étant également deux entiers.

Si une fraction ${\frac {n}{d}}$ n'est pas irréductible, alors elle peut être réduite, c'est-à-dire que n et d peuvent être divisés par un même nombre, le plus grand possible. Ce nombre est appelé le plus grand commun diviseur du numérateur n et du dénominateur d. Il peut être trouvé en utilisant l'algorithme d'Euclide. D'après le lemme de Gauss, cette forme réduite est unique.

Exemples

La fraction ${\frac {2}{4}}$ peut être réduite en ${\frac {1}{2}}$ et n'est donc pas irréductible, mais les fractions ${\frac {1}{4}}$, ${\frac {5}{6}}$ et $-{\frac {101}{100}}$ sont irréductibles.

La fraction ${\frac {90}{160}}$ n'est pas irréductible parce que le numérateur et le dénominateur sont tous les deux divisibles par 2, 5 et 10. Pour mettre cette fraction sous forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 10. On obtient ainsi :

${\frac {90}{160}}={\frac {\left({\frac {90}{10}}\right)}{\left({\frac {160}{10}}\right)}}={\frac {9}{16}}.$

Théorème

Soient a un entier et b un entier naturel non nul. Alors ${\frac {a}{b}}$ est irréductible si et seulement si, a et b sont premiers entre eux.