Voir la source de Puissance de deux

{{à recycler|thème=mathématiques|date=janvier 2012}}
[[Image:Ten octaves visualization.svg|thumb|Visualisation des puissances entières de 2, depuis 1 jusqu'à 1024 (2<sup>0</sup> à 2<sup>10</sup>).]]

En [[arithmétique]],  une '''puissance de deux''' désigne un nombre noté sous la forme {{math|2<sup>''n''</sup>}} où {{mvar|n}} est un [[entier naturel]]. Elle représente le [[Produit (mathématiques)|produit]] du nombre {{math|2}} répété {{mvar|n}} fois avec lui-même, c'est-à-dire : <math>\underbrace{2 \times \cdots \times 2}_{n\ \mathrm{facteurs}}</math>.

Ce cas particulier des puissances entières de deux se généralise dans l'ensemble des [[Nombre réel|nombres réels]], par la fonction [[Exponentielle de base a|exponentielle de base 2]], dont la fonction réciproque est le [[logarithme binaire]].

[[Produit vide|Par convention]] et pour assurer la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] de cette fonction exponentielle de base 2, la puissance zéro de 2 est prise égale à 1, c'est-à-dire que {{math|2<sup>0</sup> {{=}} 1}}.

Comme {{math|2}} est la base du [[système binaire]], les puissances de deux sont courantes en [[informatique]]. Sous forme binaire elles s'écrivent toujours « 10000…0 », comme c'est le cas pour une [[puissance de dix]] écrite dans le [[système décimal]].

En informatique, outre la base dix, on utilise très fréquemment le ''système binaire'' (base deux) puisque la logique booléenne est à la base de l'électronique numérique. Deux symboles suffisent : 0 et 1. Cette unité élémentaire ne pouvant prendre que les valeurs 0 et 1 s'appelle un [[bit]] (contraction de l'anglais ''binary digit''). Une suite de huit bits s'appelle un [[octet]].

== Notations usuelles ==

Suivant le domaine d'activité, une puissance de deux se note :
* 2<sup>''n''</sup> ;
* 2 ^ ''n'' ;
* 2 ** ''n'' ;
* 2 [3] n ;
* 2 ↑ ''n''  ([[Notation des puissances itérées de Knuth]]) ;
* puissance(2,n) ;
* power(2,n) ;
* 1 << n ;
* {{math|''H''{{ind|3}}(2,''n'')}} ;
* {{math|2 → ''n'' → 1}} ([[Notation des flèches chaînées de Conway]]).

Il existe plusieurs prononciations :
* 2 exposant ''n'' ;
* 2 puissance ''n'' ;
* 2 à la puissance ''n'' ;
* 2 élevé à la puissance ''n'' ;
* ''n''-ième puissance de 2.

== Informatique ==
L'[[informatique]] qui est basée sur le [[système binaire]] utilise toujours les puissances de deux. En particulier, 2<sup>n</sup> donne le nombre de façons dont les [[Bit|bits]] dans un entier binaire de longueur ''n'' peuvent être arrangés. Par exemple, un [[octet]] contient 8 bits et peut donc stocker 2<sup>8</sup> valeurs différentes (soit 256).

Aussi, un [[kibioctet]] contient {{formatnum:1024}} (2<sup>10</sup>) octets.

La plupart des dimensions en informatique sont des sommes de puissances de 2, que ce soit pour la taille de la mémoire (2, 4, 8 ou 12 gibioctets), la résolution vidéo (pour un écran de 14 pouces, il y a généralement 640 par 480 pixels, où 640 = 512 + 128 et 480 = 256 + 128 + 64 + 32) ou le dimensionnement des [[Mémoire de masse|mémoires de masse]].

== Premières puissances de deux ==

Les trente-trois premières puissances de deux<ref>La [https://oeis.org/A000079/b000079.txt liste des {{unité|1000|premières}} puissance de deux] figure dans les liens externes de la {{OEIS|id=A000079}}.</ref> sont :
{{début de colonnes|taille=19}}
* 2<sup>0</sup> = [[1 (nombre)|{{nombre|1}}]] ;
* 2<sup>1</sup> = [[2 (nombre)|{{nombre|2}}]] ;
* 2<sup>2</sup> = [[4 (nombre)|{{nombre|4}}]] ;
* 2<sup>3</sup> = [[8 (nombre)|{{nombre|8}}]] ;
* 2<sup>4</sup> = [[16 (nombre)|{{nombre|16}}]] ;
* 2<sup>5</sup> = [[32 (nombre)|{{nombre|32}}]] ;
* 2<sup>6</sup> = [[64 (nombre)|{{nombre|64}}]] ;
* 2<sup>7</sup> = [[128 (nombre)|{{nombre|128}}]] ;
* 2<sup>8</sup> = [[256 (nombre)|{{nombre|256}}]] ;
* 2<sup>9</sup> = [[512 (nombre)|{{nombre|512}}]] ;
* 2<sup>10</sup> = [[1 024 (nombre)|{{nombre|1024}}]] ;
* 2<sup>11</sup> = {{nombre|2048}} ;
* 2<sup>12</sup> = {{nombre|4096}} ;
* 2<sup>13</sup> = {{nombre|8192}} ;
* 2<sup>14</sup> = {{nombre|16384}} ;
* 2<sup>15</sup> = {{nombre|32768}} ;
* 2<sup>16</sup> = [[65 536 (nombre)|{{nombre|65536}}]] ;
* 2<sup>17</sup> = {{nombre|131072}} ;
* 2<sup>18</sup> = {{nombre|262144}} ;
* 2<sup>19</sup> = {{nombre|524288}} ;
* 2<sup>20</sup> = [[1 048 576 (nombre)|{{nombre|1048576}}]] ;
* 2<sup>21</sup> = {{nombre|2097152}} ;
* 2<sup>22</sup> = {{nombre|4194304}} ;
* 2<sup>23</sup> = {{nombre|8388608}} ;
* 2<sup>24</sup> = {{nombre|16777216}} ;
* 2<sup>25</sup> = {{nombre|33554432}} ;
* 2<sup>26</sup> = {{nombre|67108864}} ;
* 2<sup>27</sup> = {{nombre|134217728}} ;
* 2<sup>28</sup> = {{nombre|268435456}} ;
* 2<sup>29</sup> = {{nombre|536870912}} ;
* 2<sup>30</sup> = {{nombre|1073741824}} ;
* 2<sup>31</sup> = {{nombre|2147483648}} ;
* 2<sup>32</sup> = [[4 294 967 296 (nombre)|{{nombre|4294967296}}]].
{{fin de colonnes}}

== Puissance de deux ayant comme exposant une puissance de deux ==
Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux. Les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.

La notation
{{Retrait|<math>2^{2^n}\quad{\rm signifie}\quad 2^{(2^n)}</math>}}
(et non (2{{2}}){{exp|''n''}}, cette dernière expression valant en fait 2{{Exp|2{{italique|n}}}}=4{{exp|''n''}}).

;Exemples<ref>La [https://oeis.org/A001146/b001146.txt liste des <math>2^{2^n}</math> jusqu'à <math>n = 13</math>] figure dans les liens externes de la suite {{OEIS2C|id=A001146}} de l'OEIS.</ref> 
:*''n'' = 6 : 2<sup>64</sup> = {{nombre|18 446 744 073 709 551 616}} ;
:*''n'' = 7 : 2<sup>128</sup> = {{nombre|340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456}}.

== Autres puissances de deux remarquables ==
* 2<sup>24</sup> = {{nombre|16777216}}, le nombre de [[couleur]]s uniques qui peuvent être affichées en [[Truecolor|couleurs vraies]], qui est utilisé par la plupart des [[écran d'ordinateur|écrans d'ordinateur]].<br />Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux [[Rouge-vert-bleu|RVB]], avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
* 2<sup>32</sup> – 1 = {{nombre|4 294 967 295}} est la taille maximale d'un fichier dans le système de fichiers [[FAT32]], soit 4 [[gibioctet|Gio]] moins 1 octet.
* 2<sup>32</sup> = [[4 294 967 296 (nombre)|{{nombre|4 294 967 296}}]] est le nombre d'adresses [[IPv4]].
* 2<sup>64</sup> – 1 = {{nombre|18 446 744 073 709 551 615}}, est le nombre de grains de blé que [[Histoire du jeu d'échecs#Le mythe du brahmane Sissa|Sissa]], l'inventeur légendaire du jeu d'[[échecs]], a demandé à son seigneur à travers un [[Problème de l'échiquier de Sissa|problème mathématique]] : un (2<sup>0</sup>) sur la première case, deux (2<sup>1</sup>) sur la deuxième case, puis quatre (2<sup>2</sup>), huit (2<sup>3</sup>), seize (2<sup>4</sup>), etc. jusqu'à 2<sup>63</sup> car un échiquier comporte 64 cases. Il aurait ainsi dû recevoir {{nobr|2<sup>64</sup> – 1}} grains, nombre tellement élevé que même en 2012, il représente 1000 fois la [[Blé#Les statistiques de la production mondiale|production mondiale annuelle de blé]].
* {{nobr|2<sup>128</sup> {{=}} 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456}}, qui vaut approximativement {{nombre|3,4|e=38}}, est le nombre d'adresses [[IPv6]].
* {{nobr|2<sup>2<sup>10</sup></sup> {{=}} 2<sup>1024</sup> {{=}} 1,797693134862315907729305190789e+308}} est le plus grand entier représentable par la norme [[IEEE 754]].

== Théorèmes ==

* La [[série géométrique|somme des {{math|''n''}} premières puissances de 2]] est égale à la puissance de 2 suivante moins 1 :<center><math>S_n = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n-1</math></center>ou encore : toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances de 2 inférieures plus 1 :<center><math>2^n=S_n+1.</math></center>Les puissances de 2 sont donc des [[Nombre presque parfait|nombres presque parfaits]].
* Un entier est divisible par 2{{exp|''n''}} si et seulement si ses ''n'' derniers [[chiffres binaires]] sont tous des zéros.
* Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.
* Les [[Unité (chiffre)|chiffres des unités]] des puissances successives de 2 forment une [[suite périodique]] (2, 4, 8 et 6).
* Les nombres formés par les chiffres des dizaines et des unités des puissances successives de 2 (en partant de 2<sup>2</sup>) forment également une suite périodique (04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76 et 52).
* Chaque puissance de 2 est une somme de [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] :{{Retrait|<math>2^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}.</math>}}
* Le nombre réel 0,12481632641282565121024… formé par la suite (2{{exp|''n''}}){{ind|''n''∈ℕ}} des puissances de 2 est un [[nombre univers]]<ref>Dans son livre ''{{lang|en|Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations}}'', [[David Gale]] donne une démonstration, et il cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage [[Mathematica]], qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand on lui donne la séquence recherchée.</ref>.
* Le développement décimal de la fraction<math>\frac{1}{10^N-2}</math> vaut <math>\sum_{k=1}^{+\infty} 2^k \times 10^{-Nk}</math>, c'est à dire que le <math>k</math>-ième groupe de <math>N</math> chiffres correspond à <math>2^k</math>, les décimales surnuméraires s'additionnant avec le nombre précédent.

== Nombre premier de Mersenne ==
{{Article détaillé|Nombre de Mersenne premier}}
Un [[nombre de Mersenne premier]] est un [[nombre premier]] de la forme 2{{exp|''N''}} – 1. Par exemple, le nombre premier [[31 (nombre)|31]], qui s'écrit sous la forme 2{{5}} – 1.

Pour que 2{{exp|''N''}} – 1 soit premier, il est [[Condition nécessaire|nécessaire]] que ''N'' le soit, mais cette condition n'est pas [[Condition suffisante|suffisante]]. Le plus petit [[contre-exemple]] est <br> 2{{11}} – 1 = 2047 = 23 × 89.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Power of two|686488196|type=n}}
{{Références}}

{{Palette|Puissances d'entiers|Grand nombre}}
{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Puissance de deux|*]]
[[Catégorie:Opération]]
[[Catégorie:Suite d'entiers]]
[[Catégorie:Calcul numérique]]
[[Catégorie:2 (nombre)]]