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3 | | -# 浅谈什么是动态规划以及相关的「股票」算法题 |
| 3 | +# LeetCode第122号问题：买卖股票的最佳时机II |
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5 | 5 | > 本文首发于公众号「五分钟学算法」，是[图解 LeetCode ](<https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation>)系列文章之一。 |
6 | 6 | > |
7 | 7 | > 个人网站：[https://www.cxyxiaowu.com](https://www.cxyxiaowu.com) |
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9 | | -## 动态规划 |
10 | | - |
11 | | -### 1 概念 |
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13 | | - **动态规划**算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。在学习动态规划之前需要明确掌握几个重要概念。 |
14 | | - |
15 | | - **阶段**：对于一个完整的问题过程，适当的切分为若干个相互联系的子问题，每次在求解一个子问题，则对应一个阶段，整个问题的求解转化为按照阶段次序去求解。 |
16 | | - |
17 | | - **状态**：状态表示每个阶段开始时所处的客观条件，即在求解子问题时的已知条件。状态描述了研究的问题过程中的状况。 |
18 | | - |
19 | | - **决策**：决策表示当求解过程处于某一阶段的某一状态时，可以根据当前条件作出不同的选择，从而确定下一个阶段的状态，这种选择称为决策。 |
20 | | - |
21 | | - **策略**：由所有阶段的决策组成的决策序列称为全过程策略，简称策略。 |
22 | | - |
23 | | - **最优策略**：在所有的策略中，找到代价最小，性能最优的策略，此策略称为最优策略。 |
24 | | - |
25 | | - **状态转移方程**：状态转移方程是确定两个相邻阶段状态的演变过程，描述了状态之间是如何演变的。 |
26 | | - |
27 | | -### 2 使用场景 |
28 | | - |
29 | | -能采用动态规划求解的问题的一般要具有 3 个性质： |
30 | | - |
31 | | - （1）**最优化**：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优。换句话说，就是问题的一个最优解中一定包含子问题的一个最优解。 |
32 | | - |
33 | | - （2）**无后效性**：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关，与其他阶段的状态无关，特别是与未发生的阶段的状态无关。 |
34 | | - |
35 | | - （3）**重叠子问题**：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势） |
36 | | - |
37 | | -### 3 算法流程 |
38 | | - |
39 | | - （1）划分阶段：按照问题的时间或者空间特征将问题划分为若干个阶段。 |
40 | | - （2）确定状态以及状态变量：将问题的不同阶段时期的不同状态描述出来。 |
41 | | - （3）确定决策并写出状态转移方程：根据相邻两个阶段的各个状态之间的关系确定决策。 |
42 | | - （4）寻找边界条件：一般而言，状态转移方程是递推式，必须有一个递推的边界条件。 |
43 | | - （5）设计程序，解决问题 |
44 | | - |
45 | | -## 实战练习 |
46 | | - |
47 | | -下面的三道算法题都是来源于 LeetCode 上与股票买卖相关的问题 ，我们按照 **动态规划** 的算法流程来处理该类问题。 |
48 | | - |
49 | | -**股票买卖**这一类的问题，都是给一个输入数组，里面的每个元素表示的是每天的股价，并且你只能持有一支股票（也就是你必须在再次购买前出售掉之前的股票），一般来说有下面几种问法： |
50 | | - |
51 | | -- 只能买卖一次 |
52 | | -- 可以买卖无数次 |
53 | | -- 可以买卖 k 次 |
54 | | - |
55 | | -需要你设计一个算法去获取最大的利润。 |
56 | | - |
57 | | -## 买卖股票的最佳时机 |
58 | | - |
59 | | -题目来源于 LeetCode 上第 121 号问题：买卖股票的最佳时机。题目难度为 Easy，目前通过率为 49.4% 。 |
| 9 | +在之前有关 [**动态规划与股票问题一文**](https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation/tree/master/notes/LeetCode第122号问题：买卖股票的最佳时机II.md) 中，小吴使用了动态规划的思想进行了分析和写套路代码，但还是有一些小伙伴不是很明白，今天重新拿出一题从另外一个角度进行分析，希望能帮助大家更容易理解。 |
60 | 10 |
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61 | 11 | ### 题目描述 |
62 | 12 |
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63 | | -给定一个数组，它的第 *i* 个元素是一支给定股票第 *i* 天的价格。 |
64 | | - |
65 | | -如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。 |
66 | | - |
67 | | -注意你不能在买入股票前卖出股票。 |
68 | | - |
69 | | -**示例 1:** |
70 | | - |
71 | | -``` |
72 | | -输入: [7,1,5,3,6,4] |
73 | | -输出: 5 |
74 | | -解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。 |
75 | | - 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。 |
76 | | -``` |
77 | | - |
78 | | -**示例 2:** |
79 | | - |
80 | | -``` |
81 | | -输入: [7,6,4,3,1] |
82 | | -输出: 0 |
83 | | -解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。 |
84 | | -``` |
85 | | - |
86 | | -### 题目解析 |
87 | | - |
88 | | -我们按照动态规划的思想来思考这道问题。 |
89 | | - |
90 | | -#### 状态 |
91 | | - |
92 | | -有 **买入（buy）** 和 **卖出（sell）** 这两种状态。 |
93 | | - |
94 | | -#### 转移方程 |
95 | | - |
96 | | -对于买来说，买之后可以卖出（进入卖状态），也可以不再进行股票交易（保持买状态）。 |
97 | | - |
98 | | -对于卖来说，卖出股票后不在进行股票交易（还在卖状态）。 |
99 | | - |
100 | | -只有在手上的钱才算钱，手上的钱购买当天的股票后相当于亏损。也就是说当天买的话意味着损失`-prices[i]`，当天卖的话意味着增加`prices[i]`，当天卖出总的收益就是 `buy+prices[i]` 。 |
101 | | - |
102 | | -所以我们只要考虑当天买和之前买哪个收益更高，当天卖和之前卖哪个收益更高。 |
103 | | - |
104 | | -- buy = max(buy, -price[i]) （注意：根据定义 buy 是负数） |
105 | | -- sell = max(sell, prices[i] + buy) |
106 | | - |
107 | | -#### 边界 |
108 | | - |
109 | | -第一天 `buy = -prices[0]`, `sell = 0`，最后返回 sell 即可。 |
110 | | - |
111 | | -### 代码实现 |
112 | | - |
113 | | -```java |
114 | | -class Solution { |
115 | | - public int maxProfit(int[] prices) { |
116 | | - if(prices.length <= 1) |
117 | | - return 0; |
118 | | - int buy = -prices[0], sell = 0; |
119 | | - for(int i = 1; i < prices.length; i++) { |
120 | | - buy = Math.max(buy, -prices[i]); |
121 | | - sell = Math.max(sell, prices[i] + buy); |
122 | | - |
123 | | - } |
124 | | - return sell; |
125 | | - } |
126 | | -} |
127 | | -``` |
128 | | - |
129 | | - |
130 | | - |
131 | | -## 买卖股票的最佳时机 II |
132 | | - |
133 | 13 | 题目来源于 LeetCode 上第 122 号问题：买卖股票的最佳时机 II。题目难度为 Easy，目前通过率为 53.0% 。 |
134 | 14 |
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135 | 15 | ### 题目描述 |
@@ -169,126 +49,50 @@ class Solution { |
169 | 49 |
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170 | 50 | ### 题目解析 |
171 | 51 |
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172 | | -#### 状态 |
173 | | - |
174 | | -有 **买入（buy）** 和 **卖出（sell）** 这两种状态。 |
175 | | - |
176 | | -#### 转移方程 |
177 | | - |
178 | | -对比上题，这里可以有无限次的买入和卖出，也就是说 **买入** 状态之前可拥有 **卖出** 状态，所以买入的转移方程需要变化。 |
179 | | - |
180 | | -- buy = max(buy, sell - price[i]) |
181 | | -- sell = max(sell, buy + prices[i] ) |
182 | | - |
183 | | -#### 边界 |
184 | | - |
185 | | -第一天 `buy = -prices[0]`, `sell = 0`，最后返回 sell 即可。 |
186 | | - |
187 | | -### 代码实现 |
188 | | - |
189 | | -```java |
190 | | -class Solution { |
191 | | - public int maxProfit(int[] prices) { |
192 | | - if(prices.length <= 1) |
193 | | - return 0; |
194 | | - int buy = -prices[0], sell = 0; |
195 | | - for(int i = 1; i < prices.length; i++) { |
196 | | - sell = Math.max(sell, prices[i] + buy); |
197 | | - buy = Math.max( buy,sell - prices[i]); |
198 | | - } |
199 | | - return sell; |
200 | | - } |
201 | | -} |
202 | | -``` |
203 | | - |
204 | | - |
| 52 | +我们从实际场景去思考，假设你处于股票市场，你想获得最大收益的话理想操作是什么？ |
205 | 53 |
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206 | | -## 买卖股票的最佳时机 III |
| 54 | +当然是 **低点买入，高点卖出** ！ |
207 | 55 |
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208 | | -题目来源于 LeetCode 上第 123 号问题：买卖股票的最佳时机 III。题目难度为 Hard，目前通过率为 36.1% 。 |
| 56 | +举个简单的数组为例 [100，1，20，81]，肉眼扫过去，第二天买第四天卖的话收益最高（ 81 - 1） = 80 。 |
209 | 57 |
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210 | | -### 题目描述 |
211 | | - |
212 | | -给定一个数组，它的第 *i* 个元素是一支给定的股票在第 *i* 天的价格。 |
213 | | - |
214 | | -设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 *两笔* 交易。 |
215 | | - |
216 | | -**注意:** 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。 |
217 | | - |
218 | | -**示例 1:** |
219 | | - |
220 | | -``` |
221 | | -输入: [3,3,5,0,0,3,1,4] |
222 | | -输出: 6 |
223 | | -解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 |
224 | | - 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。 |
225 | | -``` |
226 | | - |
227 | | -**示例 2:** |
228 | | - |
229 | | -``` |
230 | | -输入: [1,2,3,4,5] |
231 | | -输出: 4 |
232 | | -解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 |
233 | | - 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 |
234 | | - 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。 |
235 | | -``` |
236 | | - |
237 | | -**示例 3:** |
238 | | - |
239 | | -``` |
240 | | -输入: [7,6,4,3,1] |
241 | | -输出: 0 |
242 | | -解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。 |
243 | | -``` |
244 | | - |
245 | | -### 题目解析 |
246 | | - |
247 | | -这里限制了最多两笔交易。 |
| 58 | +那为什么可以知道在第四天卖而不在第三天卖呢？ |
248 | 59 |
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249 | | -#### 状态 |
| 60 | +实际上，注意题目是没有限制买卖交易次数的，完全可以在第三天卖出去，只不过发现第四天有涨了，那么就在第三天再买回来。 |
250 | 61 |
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251 | | -有 **第一次买入（fstBuy）** 、 **第一次卖出（fstSell）**、**第二次买入（secBuy）** 和 **第二次卖出（secSell）** 这四种状态。 |
| 62 | +即 ` (81 - 1） = [( 20 - 1 ) + ( 81 - 20 )]`。 |
252 | 63 |
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253 | | -#### 转移方程 |
| 64 | +也就是说，第二天买、第三天卖，第三天买、第四天卖这四个动作与第二天买、第四天卖结果是一致的。 |
254 | 65 |
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255 | | -这里最多两次买入和两次卖出，也就是说 **买入** 状态之前可拥有 **卖出** 状态，**卖出** 状态之前可拥有 **买入** 状态，所以买入和卖出的转移方程都需要变化。 |
| 66 | +**所以只需要今天的价格比昨天更高，就卖出**！（反正可以再买入） |
256 | 67 |
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257 | | -- fstBuy = max(fstBuy ， -price[i]) |
258 | | -- fstSell = max(fstSell，fstBuy + prices[i] ) |
259 | | -- secBuy = max(secBuy ，fstSell -price[i]) (受第一次卖出状态的影响) |
260 | | -- secSell = max(secSell ，secBuy + prices[i] ) |
| 68 | +总结一下就是：从第二天开始观察，如果当前价格（今天）比之前价格（昨天）高，则把差值加入到利润中（因为我们可以昨天买入，今天卖出，如果明天价位更高的话，还可以今天买入，明天再抛出）。以此类推，遍历完整个数组后即可求得最大利润。 |
261 | 69 |
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262 | | -#### 边界 |
| 70 | +### 图片描述 |
263 | 71 |
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264 | | -- 一开始 `fstBuy = -prices[0]` |
265 | | -- 买入后直接卖出，`fstSell = 0` |
266 | | -- 买入后再卖出再买入，`secBuy - prices[0]` |
267 | | -- 买入后再卖出再买入再卖出，`secSell = 0` |
268 | | - |
269 | | -最后返回 secSell 。 |
| 72 | + |
270 | 73 |
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271 | 74 | ### 代码实现 |
272 | 75 |
|
273 | 76 | ```java |
| 77 | +//程序员小吴 |
274 | 78 | class Solution { |
275 | 79 | public int maxProfit(int[] prices) { |
276 | | - int fstBuy = Integer.MIN_VALUE, fstSell = 0; |
277 | | - int secBuy = Integer.MIN_VALUE, secSell = 0; |
278 | | - for(int i = 0; i < prices.length; i++) { |
279 | | - fstBuy = Math.max(fstBuy, -prices[i]); |
280 | | - fstSell = Math.max(fstSell, fstBuy + prices[i]); |
281 | | - secBuy = Math.max(secBuy, fstSell - prices[i]); |
282 | | - secSell = Math.max(secSell, secBuy + prices[i]); |
| 80 | + int profit = 0; |
| 81 | + for (int i = 1 ; i < prices.length; i++){ |
| 82 | + if (prices[i] > prices[i-1]){ |
| 83 | + profit = profit + prices[i] - prices[i - 1]; |
| 84 | + } |
283 | 85 | } |
284 | | - return secSell; |
285 | | - |
| 86 | + return profit; |
| 87 | + |
286 | 88 | } |
287 | 89 | } |
288 | 90 | ``` |
289 | 91 |
|
290 | 92 |
|
291 | 93 |
|
| 94 | + |
| 95 | + |
292 | 96 |  |
293 | 97 |
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294 | 98 |
|
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