| 121 | [买卖股票的最佳时机](https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation/tree/master/notes/LeetCode第121号问题：买卖股票的最佳时机.md) |

| 122 | [买卖股票的最佳时机II](https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation/tree/master/notes/LeetCode第121号问题：买卖股票的最佳时机II.md) |

| 123 | [买卖股票的最佳时机III](https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation/tree/master/notes/LeetCode第121号问题：买卖股票的最佳时机III.md) |

  **动态规划**算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。在学习动态规划之前需要明确掌握几个重要概念。

  **阶段：**对于一个完整的问题过程，适当的切分为若干个相互联系的子问题，每次在求解一个子问题，则对应一个阶段，整个问题的求解转化为按照阶段次序去求解。

  **状态：**状态表示每个阶段开始时所处的客观条件，即在求解子问题时的已知条件。状态描述了研究的问题过程中的状况。

  **决策：**决策表示当求解过程处于某一阶段的某一状态时，可以根据当前条件作出不同的选择，从而确定下一个阶段的状态，这种选择称为决策。

  **策略：**由所有阶段的决策组成的决策序列称为全过程策略，简称策略。

  **最优策略：**在所有的策略中，找到代价最小，性能最优的策略，此策略称为最优策略。

  **状态转移方程：**状态转移方程是确定两个相邻阶段状态的演变过程，描述了状态之间是如何演变的。

能采用动态规划求解的问题的一般要具有 3 个性质：

  （1）**最优化**：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优。换句话说，就是问题的一个最优解中一定包含子问题的一个最优解。

  （2）**无后效性**：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关，与其他阶段的状态无关，特别是与未发生的阶段的状态无关。

   （3）**重叠子问题**：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

  （1）划分阶段：按照问题的时间或者空间特征将问题划分为若干个阶段。

  （2）确定状态以及状态变量：将问题的不同阶段时期的不同状态描述出来。

  （3）确定决策并写出状态转移方程：根据相邻两个阶段的各个状态之间的关系确定决策。

  （4）寻找边界条件：一般而言，状态转移方程是递推式，必须有一个递推的边界条件。

  （5）设计程序，解决问题

下面的三道算法题都是来源于 LeetCode 上与股票买卖相关的问题 ，我们按照 **动态规划** 的算法流程来处理该类问题。

**股票买卖**这一类的问题，都是给一个输入数组，里面的每个元素表示的是每天的股价，并且你只能持有一支股票（也就是你必须在再次购买前出售掉之前的股票），一般来说有下面几种问法：

- 只能买卖一次

- 可以买卖无数次

- 可以买卖 k 次

需要你设计一个算法去获取最大的利润。

题目来源于 LeetCode 上第 121 号问题：买卖股票的最佳时机。题目难度为 Easy，目前通过率为 49.4% 。

给定一个数组，它的第 *i* 个元素是一支给定股票第 *i* 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意你不能在买入股票前卖出股票。

**示例 1:**

**示例 2:**

我们按照动态规划的思想来思考这道问题。

有 **买入（buy）** 和 **卖出（sell）** 这两种状态。

对于买来说，买之后可以卖出（进入卖状态），也可以不再进行股票交易（保持买状态）。

对于卖来说，卖出股票后不在进行股票交易（还在卖状态）。

只有在手上的钱才算钱，手上的钱购买当天的股票后相当于亏损。也就是说当天买的话意味着损失`-prices[i]`，当天卖的话意味着增加`prices[i]`，当天卖出总的收益就是 `buy+prices[i]` 。

所以我们只要考虑当天买和之前买哪个收益更高，当天卖和之前卖哪个收益更高。

* buy = max(buy, -price[i]) （注意：根据定义 buy 是负数）

* sell = max(sell, prices[i] + buy)

第一天 `buy = -prices[0]`, `sell = 0`，最后返回 sell 即可。

###代码实现

class Solution {

public int maxProfit(int[] prices) {

if(prices.length <= 1)

return 0;

int buy = -prices[0], sell = 0;

for(int i = 1; i < prices.length; i++) {

buy = Math.max(buy, -prices[i]);

sell = Math.max(sell, prices[i] + buy);

}

return sell;

}

}

题目来源于 LeetCode 上第 122 号问题：买卖股票的最佳时机 II。题目难度为 Easy，目前通过率为 53.0% 。

给定一个数组，它的第 *i* 个元素是一支给定股票第 *i* 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

**示例 1:**

**示例 2:**

**示例 3:**

有 **买入（buy）** 和 **卖出（sell）** 这两种状态。

对比上题，这里可以有无限次的买入和卖出，也就是说 **买入** 状态之前可拥有 **卖出** 状态，所以买入的转移方程需要变化。

- buy = max(buy, sell - price[i])

- sell = max(sell, buy + prices[i] )

第一天 `buy = -prices[0]`, `sell = 0`，最后返回 sell 即可。

class Solution {

public int maxProfit(int[] prices) {

if(prices.length <= 1)

return 0;

int buy = -prices[0], sell = 0;

for(int i = 1; i < prices.length; i++) {

sell = Math.max(sell, prices[i] + buy);

buy = Math.max( buy,sell - prices[i]);

}

return sell;

}

}

题目来源于 LeetCode 上第 123 号问题：买卖股票的最佳时机 III。题目难度为 Hard，目前通过率为 36.1% 。

给定一个数组，它的第 *i* 个元素是一支给定的股票在第 *i* 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 *两笔* 交易。

**注意:** 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

**示例 1:**

**示例 2:**

**示例 3:**

这里限制了最多两笔交易。

有 **第一次买入（fstBuy）** 、 **第一次卖出（fstSell）**、**第二次买入（secBuy）** 和 **第二次卖出（secSell）** 这四种状态。

这里最多两次买入和两次卖出，也就是说 **买入** 状态之前可拥有 **卖出** 状态，**卖出** 状态之前可拥有 **买入** 状态，所以买入和卖出的转移方程都需要变化。

- fstBuy = max(fstBuy ， -price[i])

- fstSell = max(fstSell，fstBuy + prices[i] )

- secBuy = max(secBuy ，fstSell -price[i]) (受第一次卖出状态的影响)

- secSell = max(secSell ，secBuy + prices[i] )

* 一开始 `fstBuy = -prices[0]`

* 买入后直接卖出，`fstSell = 0`

* 买入后再卖出再买入，`secBuy - prices[0]`

* 买入后再卖出再买入再卖出，`secSell = 0`

最后返回 secSell 。

class Solution {

public int maxProfit(int[] prices) {

int fstBuy = Integer.MIN_VALUE, fstSell = 0;

int secBuy = Integer.MIN_VALUE, secSell = 0;

for(int i = 0; i < prices.length; i++) {

fstBuy = Math.max(fstBuy, -prices[i]);

fstSell = Math.max(fstSell, fstBuy + prices[i]);

secBuy = Math.max(secBuy, fstSell - prices[i]);

secSell = Math.max(secSell, secBuy + prices[i]);

}

return secSell;

}

}