对于一般的协同过滤引擎，首先会有一个 item-item 的相似矩阵 $S$，比如下图所示（来自于 recommenderlab 包的 vignette 文档），它记录了每两个 item 间的相似情况。但由于计算量和内存的考虑，一般在构建推荐引擎时不会这么暴力的存储全部的相似信息，而是使用部分信息。比如（按行来看）和 $i_1$ 最相关的三个item是 $ i_4, i_5, i_6 $，而另外的两个 item $i_2, i_8$ 则不参与计算。

介绍完相似矩阵，接下来就的最近邻协同过滤就非常简单了，假如用户 $ u_\alpha $ 对 $ i_1, i_5, i_8 $ 分别打了 2，4，5 分，根据相似阵 $S$ 中 item 的相似程度，来计算其余未打分的 item 的评分，即

最后的 $ r_\alpha $ 则是对 item 的预测结果。

既然逻辑都讲清楚了，那不实现一下推荐引擎就有点说不过去了。