Xeodésica

Cuártica de Kleincon 28 xeodésicas (marcadas por 7 cores e 4 patróns)

En xeometría, unha xeodésica é unha curva que representa nalgún sentido o camiño (arco) máis curto entre dous puntos dunha superficie, ou máis xeralmente nunha variedade de Riemann. O termo tamén ten significado en calquera variedade diferenciable cunha conexión. É unha xeneralización da noción de "liña recta".

No sentido orixinal, unha xeodésica era a ruta máis curta entre dous puntos da superficie terrestre. Agora o termo xeneralizouse a espazos matemáticos máis abstractos.

Nunha variedade ou subvariedade de Riemann, as xeodésicas caracterízanse pola propiedade de ter curvatura xeodésica nula. De xeito máis xeral, en presenza dunha conexión afín, unha xeodésica defínese como unha curva cuxos vectores tanxentes permanecen paralelos se son transportados ao longo dela.

As xeodésicas tamén aparecen na relatividade xeral en relación ao tempo.

Introdución

Un camiño localmente máis curto entre dous puntos dados nun espazo curvo, asumido que é unha variedade de Riemann, pódese definir usando a ecuación para a lonxitude dunha curva (unha función f desde un intervalo aberto de R ata o espazo), e logo minimizando esta lonxitude entre os puntos usando o cálculo de variacións.

Pode pasar que varias curvas diferentes entre dous puntos minimicen a distancia, como é o caso de dous puntos diametralmente opostos nunha esfera. Neste caso, calquera destas curvas é xeodésica.

Un segmento contiguo dunha xeodésica é tamén unha xeodésica.

En xeral, as xeodésicas non son o mesmo que as "curvas máis curtas" entre dous puntos, aínda que os dous conceptos están estreitamente relacionados. A diferenza é que as xeodésicas son só localmente a distancia máis curta entre puntos, e están parametrizadas con "velocidade constante". Percorrer a distancia entre dous puntos dun círculo máximo pódese facer polo lado longo ou polo lado curto, mais ambos os dous lados son xeodésicas. O mapa $t\to t^{2}$ desde o intervalo unitario na recta numérica real ata si mesmo dá o camiño máis curto entre 0 e 1,mais non é unha xeodésica porque a velocidade do movemento correspondente dun punto non é constante.

As xeodésicas son comunmente vistas no estudo da xeometría de Riemann e máis xeralmente da xeometría métrica. Na relatividade xeral, as xeodésicas no espazo-tempo describen o movemento das partículas puntuais só baixo a influencia da gravidade.

Este artigo presenta o formalismo matemático que implica definir, atopar e probar a existencia de xeodésicas, no caso das variedades de Riemann. O artigo conexión de Levi-Civita analiza o caso máis xeral dunha variedade pseudo-riemanniana e o artigo sobre a xeodésica da relatidade xeral analiza o caso especial da relatividade xeral con maior detalle.

Exemplos

Xeodésica sobre un elipsoide triaxial.

Se unha xoaniña se coloca sobre unha superficie e camiña continuamente "para adiante", por definición trazará unha xeodésica.

Os exemplos máis coñecidos son as liñas rectas na xeometría euclidiana. Nunha esfera, as imaxes das xeodésicas son os grandes círculos. O camiño máis curto do punto A ao punto B nunha esfera vén dado polo arco máis curto do círculo grande que pasa por A e B. Se A e B son puntos antípodas, entón hai infinitos camiños máis curtos entre eles. As xeodésicas sobre un elipsoide compórtanse dun xeito máis complicado que sobre unha esfera; en particular, non están pechados en xeral.

Triángulos

Un triángulo xeodésico está formado polas xeodésicas que unen cada par de tres puntos nunha determinada superficie. Na esfera, as xeodésicas son grandes arcos de círculo, formando un triángulo esférico.

Un triángulo xeodésico sobre a esfera.

Triángulos xeodésicos en espazos de curvatura positiva (arriba), negativa (media) e cero (inferior).

Xeometría métrica

En xeometría métrica, unha xeodésica é unha curva que é localmente un minimizador de distancia. Máis precisamente, unha curva γ : I → M desde un intervalo I dos reais ata o espazo métrico M é unha xeodésica se hai unha constante v ≥ 0 tal que para calquera t ∈ I existe unha veciñanza J de t en I tal que para calquera t₁, t₂ ∈ J temos

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.$

Isto xeneraliza a noción de xeodésica para as variedades de Riemann. Porén, en xeometría métrica a xeodésica a miúdo está equipada con parametrización natural, é dicir, na identidade anterior v = 1 e daquela temos

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.$

Se a última igualdade se satisfai para todo t₁, t₂ ∈ I, a xeodésica denomínase xeodésica minimizadora ou camiño máis curto.

En xeral, un espazo métrico pode non ter xeodésicas, agás as curvas constantes. No outro extremo, dous puntos calquera dun espazo de métrica intrínseca están unidos por unha secuencia minimizadora de curvas rectificadas, aínda que esta secuencia minimizadora non ten por que converxer nunha xeodésica.

Xeometría de Riemann

Nunha variedade de Riemann M cun tensor métrico g, a lonxitude L dunha curva continuamente diferenciable γ : [ a, b ] → M defínese por

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.$

Onde ${\dot {\gamma }}(t)$ e a derivada en relación a t. A métrica g pode considerarse como unha "métrica infinitesimal" e xera unha verdadeira métrica sobre M que fai de M un espazo métrico.

A distancia d(p, q) entre dous puntos p e q de M defínese como o ínfimo da lonxitude tomada sobre todas as curvas continuas, por anacos, diferenciables continuamente γ : [ a, b ] → M tal que γ( a ) = p e γ( b ) = q. Na xeometría riemanniana, todas as xeodésicas son camiños que minimizan a distancia localmente, mais o contrario non é certo. De feito, só os camiños que minimizan a distancia localmente e parametrizan proporcionalmente á lonxitude do arco son xeodésicas. Outra forma equivalente de definir xeodésicas nunha variedade de Riemann é definilas como os mínimos da seguinte función de enerxía (ou capacidade):

$E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.$

Para unha curva $C^{1}$por anacos (máis xeralmente, unha curva $W^{1,2}$), a desigualdade de Cauchy-Schwarz dá

$L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )$

con igualdade se e só se $g(\gamma ',\gamma ')$ é igual a unha constante, isto é, o camiño debe percorrerse a velocidade constante.

Xeodésica afín

Unha xeodésica nunha variedade suave M cunha conexión afín ∇ defínese como unha curva γ(t) tal que o transporte paralelo ao longo da curva conserva o vector tanxente á curva, polo que

$\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$

 

 

 

 

(1)

en cada punto da curva, onde ${\dot {\gamma }}$ é a derivada en relación a $t$. Máis precisamente, para definir a derivada covariante de ${\dot {\gamma }}$ é necesario primeiro estender ${\dot {\gamma }}$ a un campo vectorial continuamente diferenciable nun conxunto aberto. Porén, o valor resultante de (1) é independente da elección da extensión.

Usando coordenadas locais en M, podemos escribir a ecuación xeodésica (usando a convención de suma) como

${\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,$

onde $\gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)$ son as coordenadas da curva γ(t) e $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ son os símbolos de Christoffel da conexión ∇. Esta é unha ecuación diferencial ordinaria para as coordenadas. Ten unha solución única dada unha posición inicial e unha velocidade inicial. Polo tanto, desde o punto de vista da mecánica clásica, as xeodésicas poden considerarse como traxectorias de partículas libres nunha variedade. De feito, a ecuación $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$ significa que o vector aceleración da curva non ten compoñentes na dirección da superficie (e polo tanto é perpendicular ao plano tanxente da superficie en cada punto da curva). Entón, o movemento está completamente determinado pola flexión da superficie. Esta é tamén a idea da relatividade xeral onde as partículas móvense sobre xeodésicas e a flexión é causada pola gravidade.

Existencia e singularidade

O teorema de existencia e unicidade local para xeodésicas afirma que as xeodésicas nunha variedade suave cunha conexión afín existen, e son únicas. Máis precisamente:

Para calquera punto p en M e para calquera vector V en T_pM (o espazo tanxente a M en p) existe unha xeodésica única $\gamma \,$ : I → M tal que

$\gamma (0)=p\,$ e

${\dot {\gamma }}(0)=V,$

onde I é un intervalo aberto máximo en R que contén o 0.

A demostración deste teorema segue a partir da teoría das ecuacións diferenciais ordinarias, ao notar que a ecuación xeodésica é unha EDO de segunda orde. A existencia e a unicidade dedúcense logo do teorema de Picard–Lindelöf para as solucións da EDO con condicións iniciais dadas. Así γ depende de forma suave tanto de p como de V.

En xeral, é posible que I non sexa todo R como, por exemplo, para un disco aberto en R². Calquera γ esténdese a todo ℝ se e só se M é xeodésicamente completa

Fluxo xeodésico

O fluxo xeodésico é unha R-acción no fibrado tanxente TM dunha variedade M definida do seguinte xeito

$G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)$

onde t ∈ R, V ∈ TM e $\gamma _{V}$ denota a xeodésica cos datos iniciais ${\dot {\gamma }}_{V}(0)=V$. Así, $G^{t}(V)=\exp(tV)$ é o mapa exponencial do vector tV. Unha órbita pechada do fluxo xeodésico corresponde a unha xeodésica pechada en M.

Nunha variedade (pseudo-)riemanniana, o fluxo xeodésico identifícase cun fluxo hamiltoniano no fibrado cotanxente. A Hamiltoniana vén dada pola inversa da métrica (pseudo-)riemanniana, avaliada fronte á U-forma canónica (ou forma de Liouville). En particular, o fluxo conserva a métrica (pseudo-)riemanniana $g$, é dicir.

$g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,$

En particular, cando V é un vector unitario, $\gamma _{V}$ segue a ser a velocidade unitaria en todo momento, polo que o fluxo xeodésico é tanxente ao fibrado tanxente unitario.O Teorema de Liouville implica a invarianza dunha medida cinemática no fibrado tanxente unitario.

Spray xeodésico

O fluxo xeodésico define unha familia de curvas no fibrado tanxente. As derivadas destas curvas definen un campo vectorial no espazo total do fibrado tanxente, coñecido como spray xeodésico.

Máis precisamente, unha conexión afín dá lugar a unha división do fibrado duplo tanxente TTM en fibrado horizontal e fibrado vertical:

$TTM=H\oplus V.$

O spray xeodésico é o único campo vectorial horizontal W que satisfai

$\pi _{*}W_{v}=v\,$

en cada punto v ∈ TM; aquí $\pi _{*}:$ TTM → TM indica o pushforward (diferencial) ao longo da proxección $\pi$: TM → M asociado ao fibrado tanxente.

Xeodésica afín e proxectiva

A ecuación (1) é invariante baixo reparametrizacións afíns; é dicir, parametrizacións da forma

$t\mapsto at+b$

onde a e b son números reais constantes. Así, ademais de especificar unha determinada clase de curvas inseridas, a ecuación xeodésica tamén determina unha clase preferida de parametrizacións en cada unha das curvas. En consecuencia, as solucións de (1) chámanse xeodésicas con parámetro afín.

Unha conexión afín está determinada pola a súa familia de xeodésicas parametrizadas de forma afín, ata tensor de torsión. A torsión en si non afecta, de feito, á familia das xeodésicas, xa que a ecuación xeodésica depende só da parte simétrica da conexión. Máis precisamente, se $\nabla ,{\bar {\nabla }}$ son dúas conexións tales que o tensor da diferenza

$D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y$

é antisimétrica, entón $\nabla$ e ${\bar {\nabla }}$ teñen as mesmas xeodésicas, coas mesmas parametrizacións afíns. Ademais, hai unha conexión única que ten a mesma xeodésica que $\nabla$, mais cunha torsión que desaparece.

As xeodésicas sen unha parametrización particular descríbense mediante unha conexión proxectiva.

Métodos computacionais

Varios autores teñen propostas de solución eficientes para o problema da xeodésica mínima en superficies, por exemplo Mitchell, Kimmel, Crane, e outros máis.

Véxase tamén

Bibliografía

• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2). Houston, TX: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-71-3. 

Outros artigos

• Curva diferenciable
• Xeinetría diferencial
• Círculo xeodéxico

Ligazóns externas

• Xeometría de Riemann.
• Métrica de Riemann.
• Lonxitude de Riemann.
• Xeodésicas 1.
• Xeodésicas 2.
• Existencia de Xeodésicas.