מודל מתמטי

מודל מתמטי הוא מודל, המשתמש בשפה מתמטית על מנת לתאר מערכת. מודלים מתמטיים נמצאים בשימוש נרחב לא רק בתחומי מדעי הטבע וההנדסה (כגון פיזיקה, ביולוגיה, כימיה ומדעי כדור הארץ) אלא גם במדעי החברה (כגון כלכלה, פסיכולוגיה, סוציולוגיה, מדעי המדינה) ולמעשה בכל תחום המשתמש במתמטיקה על מנת לתאר את עולמו. תהליך הפיתוח של המודל המתמטי נקרא "מידול מתמטי" ועל פי רוב הוא מצריך הבנה מתמטית טובה מספיק המאפשרת למפתח המודל להשתמש בכלים המתמטיים הנדרשים על מנת לתאר את המערכת אותה הוא חוקר.

קיימים סוגים רבים של מודלים מתמטיים, בין היתר כמערכת דינמית, כמודל סטטיסטי, משוואה דיפרנציאלית, תהליך סטוכסטי ואף כמשחק בתורת המשחקים ומודל אחד אף יכול להכיל מרכיבים שונים היוצרים יחד את המודל המתמטי של המערכת הכוללת.

מטרת המודל המתמטי (כמו כל מודל אחר) היא לספק תיאור מופשט של המציאות, שיהיה מספיק ריאלי ומספיק גמיש כדי לבצע ניתוחים, הערכות, חיזוי והסקת מסקנות על המערכת במציאות. ציטוט ידוע של הסטטיסטיקאי ג'ורג' בוקס בהקשר זה הוא ש"כל המודלים שגויים, אך חלקם מועילים", כלומר אף מודל אינו מדויק לחלוטין והוא בסך הכל פישוט של מציאות מסוימת, אך לעיתים בחינת המודל מעלה תובנות מעניינות וחשובות להבנת המערכת הכללית. למעשה, השימוש במודל מתמטי מאפשר יישום עקרונות מתחום אחד (מתמטיקה) כדי לפתור בעיות מתחום אחר – למשל, מדעי החברה.

דוגמאות

• בפיזיקה עוסקים על פי רוב במידול מתמטי של תופעות פיזיקליות. משוואות המכניקה הקלאסית הם מודל המתאר את התנועה ושינויה כתלות בכוחות, תוך שימוש בחשבון אינפיניטסימלי העוסק בשינויים. תורת הקוונטים עושה שימוש במשוואות דיפרנציאליות ובסטטיסטיקה.
• הרמן אבינגהאוס מידל מתמטית את תהליך השכחה כתהליך דעיכה מעריכית, דהיינו $\ R=R_{0}e^{-\lambda t}$ כאשר $R_{0}$ הוא רמת הזכירה הבסיסית אשר ממנה לא סביר שניתן לסגת עוד, t הוא הזמן שעבר מאז הלמידה ו-λ היא הפרמטר הקובע באיזה קצב הזיכרון ידעך. מובן לכל בר דעת שמודל זה אינו מתאר במדויק את תהליך השכחה, אך עם זאת המידול המתמטי נותן לחוקר אפשרות לחזות ולנתח אירועים דומים.
• גידול אוכלוסין ניתן למדל באמצעות תהליך גידול אקספוננציאלי, דהיינו $\ N=N_{0}e^{nt}$, כאשר המעריך הוא חיובי הפעם. מודל מסוג זה מנבא את גודל האוכלוסייה כעבור t יחידות זמן אם קצב גידול האוכלוסייה הוא n אנשים ליחידת זמן ו- $N_{0}$ הוא גודל האוכלוסייה המקורית.
• תורת התורים היא ענף בחקר ביצועים המבצע אופטימיזציה ומחקר למערכות תורים, על פי רוב באמצעות מודל תורים כלשהו שאינו מהווה אלא הפשטה של תור אמיתי באמצעות מערכת משוואות מתמטיות (שרשרת מרקוב במקרה הזה). על אף ההבדלים המהותיים בין המודל למציאות, התובנות שניתן לקבל ממחקר של מודל כזה מהוות בסיס מתמטי מוצק שעל פי רוב עדיף על מודלים לא-כמותיים אחרים.

לקריאה נוספת

• טימותי גוורס, מתמטיקה, ידיעות ספרים, 2007, הפרק "מודלים", עמ' 15–31.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מודל מתמטי בוויקישיתוף

• ארז גרטי, איך מתאימים מודל מתמטי לתצפיות מדעיות?, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 5 בנובמבר 2011
• בניית מודלים מתמטיים של תופעות – כיוונים שונים, מצגת מכנס לחינוך מתמטי, 2002
• ברנד סרינג, עיבוד נתונים במעבדת הפיזיקה: התאמת מודל מתמטי לנתונים, באתר מורי הפיזיקה
• מודל מתמטי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מודלים מתמטיים, דף שער בספרייה הלאומית