Georg Friedrich Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, 1826. szeptember 17. – Selasca, 1866. július 20.) német matematikus, aki rövid élete ellenére úttörő munkát végzett a matematikai analízis, differenciálgeometria, matematikai fizika és analitikus számelmélet területén.

Georg Friedrich Bernhard Riemann
Életrajzi adatok
Született	1826. szeptember 17. , Hannoveri Királyság, Breselenz
Elhunyt	1866. július 20. (39 évesen) Olasz Királyság, Selasca,
Sírhely	cemetery of Biganzolo
Ismeretes mint	matematikus fizikus egyetemi oktató professzor
Nemzetiség	német
Házastárs	Elise Koch
Szülei	Charlotte Ebell Friedrich Bernhard Riemann
Iskolái	Göttingeni Egyetem Humboldt Egyetem Johanneum Lüneburg
Iskolái
Felsőoktatási intézmény	Georg-August Egyetem Göttingen
Pályafutása
Szakterület	matematika
Tudományos fokozat	egyetemi tanár
Szakmai kitüntetések
Foreign Member of the Royal Society (1866. június 14.)
Hatással voltak rá	Carl Friedrich Gauss
Hatással volt	Gustav Roch
Georg Friedrich Bernhard Riemann aláírása
A Wikimédia Commons tartalmaz Georg Friedrich Bernhard Riemann témájú médiaállományokat.

Élete

Ötgyermekes lutheránus lelkész fiaként született, és szűkös körülmények között nőtt fel. Családjával mindig szoros kapcsolatban maradt. 1840–1842 között a hannoveri gimnáziumba járt, majd 1846-ig a lüneburgi gimnáziumba. Már korán kitűnt matematikai képességeivel. Egy tanára kölcsönadta neki Legendre Számelmélet (Théorie des Nombres) című könyvét, amely 859 oldalas nehéz olvasmány volt, de már egy hét múlva visszakapta. Amikor két évvel később az érettségi vizsgán a szokásos mértéken felül részletesen kikérdezte belőle Riemannt, bebizonyosodott, hogy diákja teljesen elsajátította a benne foglaltakat.

Riemann először apját követve teológusnak készült, ezért már Lüneburgban a latin és görög nyelv mellett héberül is tanult, utóbb azonban a Göttingeni Egyetemen a matematika felé fordult. 1846–47-ben Moritz Stern, Johann Benedict Listing és Carl Friedrich Gauss tanítványa volt. 1847–49 között Berlinben Dirichlet előadásait hallgatta a parciális differenciálegyenletekről, Jacobi és Gotthold Eisenstein – akivel utóbb közeli ismeretséget kötött – előadásait az elliptikus függvényekről, illetve Steinernél -geometriát. Ebben az időben hatással voltak rá az 1848-as márciusi forradalom eseményei, így egy diákokból álló alakulat tagjaként egy napig őrt állt a királyi palota előtt. 1849-ben ismét Göttingenben, megkezdte a függvényelméletről szóló disszertációjának megírását, amelyet 1851-ben fejezett be, Ezt követően Wilhelm Weber fizikus asszisztense lett, és 1854-ben habilitált.

1857-től a göttingeni egyetemen rendkívüli tanárként tanított. Ezekben az években két nővére is hozzá költözött, akiket neki kellett eltartania csekély tanári jövedelméből. (Abban az időben a tanári fizetés nagyobb részét a hallgatói díjak tették ki, és minél igényesebb volt az előadás, annál kevesebb diák vett rajta részt.) A túlfeszített munka következtében idegösszeomlást kapott és Bad Harzburgba utazott pihenni Dedekindhez. 1858-ban három olasz matematikus látogatta meg Göttingenben, Brioschi, Betti és Casorati, akikkel összebarátkozott, és megosztotta velük a topológiával kapcsolatos elgondolásait. Dirichlet 1859-ben bekövetkezett halála után Riemann lett az utódja, rendes tanári állásban. Ugyanebben az évben Berlinbe utazott, ahol Kummerrel, Weierstrass-szal és Kroneckerrel találkozott. 1860-ban Párizsban Puiseux-t, Bertrand-t, Hermite-t, Briot-t und Bouquet-t kereste fel. 1862-ben feleségül vette nővére egyik barátnőjét, Elise Kochot, és 1863-ban lányuk született. Ebben az évben hosszabb ideig Olaszországban tartózkodott, és ismét találkozott olasz matematikus barátaival. 1862-ben az itáliai útról visszatérőben egészségi állapota rosszabbra fordult, ugyanis gümőkórban szenvedett. A betegségből a hosszabb olaszországi kúrák sem tudták kigyógyítani. Harmadik olasz útján, 39 éves korában halt meg a Lago Maggiore mellett, sírja is ott található.

Munkássága

Riemann rövid élete ellenére korának egyik legkiválóbb matematikusa volt, akinek a munkássága máig is tartó hatást fejtett ki a természettudományok területén. Ő volt a komplex analízis egyik megalapítója. Az általa kidolgozott geometria az einsteini általános relativitáselmélet előkészítésének tekinthető.

Geometria

A Riemann-geometriával kapcsolatos elméletét, ami a tetszőleges számú dimenzióban definiált differenciálgeometriát jelent, csak 1854-ben a habilitációja során fejtette ki Carl Friedrich Gauss jelenlétében, akire mély benyomást tett. Több témát javasolt, utolsónak hagyva azokat a "hipotéziseket, amelyek a geometria alapjául szolgálnak". Gauss a szokásoktól teljesen eltérve ezt az utolsóként megjelölt témát választotta. Az előadás során Riemann arra kényszerült, hogy a tágabb hallgatóság számára is érthetően fejezze ki magát, ezért csak kevés képletet mutatott be. Egy párizsi pályázatra részletesen is kifejtette elképzeléseit (ez először 1876-ban az összegyűjtött műveiben jelent meg).

Függvényelmélet

1847-ben a disszertációjában megvetette a függvényelmélet geometriai alapjait. A Riemann-felületeken a komplex függvények harmonikus függvények (azaz kielégítik a Laplace-egyenletet illetve ami ezzel egyenértékű, a Cauchy–Riemann parciális differenciálegyenleteket) és leírhatóak a szingularitásaik és a felület topológiájának segítségével.

Ezen a területen számos hozzájárulása ismeretes. A híres Riemann-féle leképezési tétel azt mondja ki, hogy a C komplex számsíkon minden egyszeresen összefüggő terület biholomorfikusan ekvivalens akár a teljes C-vel, akár az egységsugarú kör belsejével. A tétel általánosítása Riemann-felületekre a híres uniformizálási tétel, amellyel a 19. században többek között Henri Poincaré és Felix Klein foglalkozott.

Számelmélet

1859-ben jelent meg egyedüli számelméleti tárgyú műve, az Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe az analitikus számelmélet egyik alapja, Csebisov és Dirichlet művei mellett. Ebben kísérletet tett arra, hogy a Gauss által sejtett prímszámtételt bizonyítsa és szigorítsa. A függvényelmélet segítségével messzemenő kijelentéseket tett a prímszámok eloszlásáról. Ebben a munkában jelenik meg a róla elnevezett Riemann-sejtés a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeivel kapcsolatban, ha csak egyetlen mondatnyi említés erejéig is (a bizonyítással néhány próbálkozás után felhagyott, mert nem tartozott közvetlenül a tárgyalt témához). A sejtés kiemelkedő jelentőségű a számelméletben, noha mindmáig nem sikerült bebizonyítani.

Valós függvények, Fourier-sorok, Riemann-integrál

Riemann fejlesztette ki a róla elnevezett Riemann-integrált. A Stieltjes-integrál is visszavezethető a Riemann-integrálra, ezért szokták Riemann–Stieltjes-integrálnak is nevezni.

A Fourier-sorokról szóló disszertációjában Dirichlet nyomdokán haladva bebizonyította, hogy a Riemann-integrálható függvények Fourier-sorokkal „ábrázolhatóak“. Ezenkívül bebizonyította a Riemann–Lebesgue-lemmát: ha egy függvény Fourier-sorral ábrázolható, akkor a Fourier-együtthatók határértéke nulla. Riemann dolgozata volt Georg Cantor kiindulópontja a Fourier-sorokkal kapcsolatos munkásságához, amelyből aztán megszületett a halmazelmélet.

Művei

• Riemanns Gesammelte Werke (Riemann összegyűjtött művei), Teubner/Springer 1990
• Riemanns Vorlesungen über elliptische Funktionen (Riemann előadásai az elliptikus függvényekről), Teubner 1899
• Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe in Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, November 1859, Seite 671 ff. Hier findet sich die Riemannsche Vermutung.
• Vorlesungen über „Partielle Differentialgleichungen“ (3. Aufl., Braunschweig 1882)
• „Schwere, Elektrizität und Magnetismus“. Hannover, 1876, Hrsg. Hattendorff.
• "Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen" mit Karl Hattendorff, Braunschweig 1869
• The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann
• "Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe", Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868
• "Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite", Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1860, seine spezielle "Schockwelle"
• "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen", Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868
• "Beiträge zur Theorie der durch die Gausssche Reihe F($\alpha ,\beta ,\gamma ,x)$ darstellbaren Funktionen", Abh. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen 1857
• "Über das Verschwinden der Thetafunktionen", Crelles Journal 1866
• "Bestimmung der Funktion einer veränderlichen komplexen Größe durch Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen", Crelles Journal 1857
• "Theorie der Abelschen Funktionen", Crelles Journal 1857
• "Über die Fläche kleinsten Inhalts bei gegebener Begrenzung", Abh. Kgl. Ges. Wis. Göttingen, 1868
• "Ein Beitrag zur Untersuchung über die Bewegungen eines gleichartigen flüssigen Ellipsoids", Abh. Ges. Wiss. Göttingen 1861

Források

• Eric Temple Bell: Men of mathematics, New York 1986 (Erstauflage 1937) — auf Deutsch unter dem Titel: Die großen Mathematiker, Econ Verlag 1967
• Umberto Bottazzini: Riemanns Einfluß auf E. Betti und F. Casorati, in: Archive for History of Exact Sciences, Bd.18, Nr. 1, März 1977
• ders.: "Algebraic Truths" vs "Geometric Fantasies": Weierstrass' Response to Riemann, in: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Peking, 20.-28. August 2002
• Umberto Bottazzini und Rossana Tazzioli: “Naturphilosophie and its role in Riemann’s mathematics.” Revue d’Histoire des Mathématiques 1:3–38, 1995.
• Richard Dedekind: Biographie in den Gesammelten Werken Riemanns, Online-Ausgabe siehe unten.
• John Derbyshire: Prime Obsession. Bernhard Riemann And The Greatest Unsolved Problem In Mathematics, Washington, D.C. 2003, ISBN 0-309-08549-7
• H.M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Mineola, New York 2001 (Reprint), ISBN 0-486-41740-9
• Hans Freudenthal: Artikel Riemann in Dictionary of Scientific Biography
• Felix Klein: Geschichte der Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert, Springer Verlag, online hier:[1]
• Detlef Laugwitz: Bernhard Riemann 1826-1866, Basel, Birkhäuser, 1996, ISBN 978-3-7643-5189-2
• Michael Monastyrsky: Riemann, Topology and Physics, Birkhäuser 2.Auflage 1999, ISBN 0817637893
• Erwin Neuenschwander: Riemann und das "Weierstraßsche" Prinzip der analytischen Fortsetzung durch Potenzreihen, Jahresbericht Deutsche Mathematiker Vereinigung, Bd. 82, S. 1-11 (1980)
• Winfried Scharlau (Hrsg.) Richard Dedekind: 1831 - 1981, eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag, Braunschweig, Vieweg, 1981, ISBN 3-528-08498-7 (hier auch von Dedekind zu Riemann einiges, was er in seiner Biographie in den Gesammelten Werken mit Rücksicht auf die Witwe verschwieg)
• Ernst Schering: Rede zum Gedächtnis an Riemann vom 1.12.1899, in: Riemann, Bernhard: Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlaß. Herausgegeben unter Mitwirkung von Richard Dedekind und Heinrich Weber, Zweite Auflage, Leipzig 1892, Bd.2
• Carl Ludwig Siegel: Vorlesungen über ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie, Göttingen, o.J./1995, Bd.1,2 (Erläuterung von Riemanns Arbeiten), erhältlich hier:[2]
• ders.: Über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie, Quellen-Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abt. B: Studien 2, (1932), S. 45–80. (auch in Gesammelte Abhandlungen, Bd. 1, Springer-Verlag, Berlin and New York 1979, ISBN 978-3-540-09374-9)
• Andre Weil: Riemann, Betti and the birth of topology, in: Archive for History of Exact Sciences, Bd. 20, 1979, S.91 und Bd.21, 1980, S. 387 (u.a. Brief Bettis, in dem er eine Äußerung Riemanns wiedergibt, er hätte die Idee für seine Schnitte aus einer Unterredung mit Gauss)
• Hermann Weyl, Erläuterungen in seiner Herausgabe von Riemann: Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen, Berlin, Springer 1919
• ders. Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkungen und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie, Springer 1988

Riemannról elnevezett fogalmak

• der riemannsche Abbildungssatz,
• Riemann–Christoffel tenzor
• Riemann-felület,
• Riemann-geometria,
• Riemann-gömb,
• Riemann-féle görbületi tenzor,
• der riemannsche Hebbarkeitssatz,
• Riemann-integrál,
• Riemann–Lebesgue-lemma
• der riemannsche Umordnungssatz,
• Riemann-probléma,
• Riemann-sejtés,
• Riemann-sokaság
• Riemann–Stieltjes-integrál,
• Riemann-tér,
• Riemann-féle zéta-függvény,
• Riemann–Roch-tétel.

További információk

A Wikimédia Commons tartalmaz Bernhard Riemann témájú médiaállományokat.

• Riemann Biographie von Dörte Haftendorn, Uni Lüneburg Archiválva 2016. november 16-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Riemann Biographie McTutor Archiválva 2007. augusztus 18-i dátummal a Wayback Machine-ben