Pendiferensialan logaritmik

Dalam kalkulus, pendiferensialan logaritmik adalah metode untuk mencari turunan suatu fungsi dengan menggunakan turunan logaritmik dari fungsi $f$ ^[1] $(\ln f(x))'={\frac {f'(x)}{f(x)}}\quad \implies \quad f'(x)=f(x)\cdot (\ln f(x))'$ atau bisa juga ditulis $f'(x)=\left(e^{\ln f(x)}\right)'=e^{\ln f(x)}\cdot (\ln f(x))'$

Teknik ini biasanya digunakan pada kasus dimana lebih mudah untuk mencari turunan logaritmik dari suatu fungsi, dibandingkan menurunkan fungsi tersebut secara langsung. Hal ini umumnya terjadi pada kasus dimana fungsinya terdiri dari perkalian beberapa suku, sehingga transformasi logaritmik akan mengubah operasi perkalian tersebut menjadi penjumlahan (yang tentunya lebih mudah untuk dicari turunannya). Teknik ini juga berguna ketika diterapkan pada fungsi yang dipangkatkan dengan suatu fungsi lain. Metode pendiferensialan logaritmik bergantung kepada kaidah rantai beserta sifat-sifat dari logaritma (khususnya logaritma alami, yaitu logaritma dengan basis e) untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan dan pembagian menjadi pengurangan.^[2]^[3]

Gambaran Umum

Metode ini digunakan sebab sifat-sifat dari logaritma memberikan jalan cepat untuk menyederhanakan fungsi-fungsi rumit yang akan dicari turunannya.^[4] Sebelum proses pencarian turunan, sifat-sifat ini dapat dimanipulasi setelah kedua ruas dikenakan logaritma alami. Sifat-sifat logaritma yang umum digunakan ialah^[3] $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{b})=b\ln(a).$

Penerapan

Hasil kali

Untuk mencari turunan dari hasil kali dua fungsi $y(x)=f(x)\cdot g(x)$ maka kedua ruas dapat dikenakan logaritma alami, sehingga operasi perkaliannya berubah menjadi penjumlahan ${\begin{aligned}\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left(f(x)\cdot g(x)\right)\\&=\ln \left(f(x)\right)+\ln \left(g(x)\right)\end{aligned}}$ Dengan menggunakan kaidah rantai dan kaidah penjumlahan, maka diperoleh^[5] ${\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\\y'(x)&=y(x)\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)\cdot g(x)\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\end{aligned}}$ yang merupakan kaidah darab dalam turunan.

Hasil-bagi

Untuk mencari turunan dari hasil bagi dua fungsi $y(x)={\dfrac {f(x)}{g(x)}}$ maka kedua ruas dapat dikenakan logaritma alami, sehingga operasi pembagiannya berubah menjadi pengurangan ${\begin{aligned}\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left({\dfrac {f(x)}{g(x)}}\right)\\&=\ln \left(f(x)\right)-\ln \left(g(x)\right)\end{aligned}}$ Dengan menggunakan kaidah rantai dan kaidah penjumlahan, maka diperoleh ${\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\\y'(x)&=y(x)\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&={\dfrac {f(x)}{g(x)}}\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\dfrac {f(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {g'(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)\cdot g(x)}{\left(g(x)\right)^{2}}}-{\frac {f(x)\cdot g'(x)}{\left(g(x)\right)^{2}}}\end{aligned}}$ yang merupakan kaidah hasil-bagi dalam turunan.

Eksponen berupa fungsi

Apabila fungsinya memiliki bentuk umum $y(x)=f(x)^{g(x)}$ maka dengan mengenakan logaritma alami pada kedua ruas, operasi exponen yang ada akan menjadi perkalian, sehingga didapatkan ${\begin{aligned}\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left(f(x)^{g(x)}\right)\\&=g(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)\end{aligned}}$ Dengan menggunakan kaidah rantai dan kaidah darab, maka diperoleh ${\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&=g'(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)+g(x)\cdot {\frac {f'(x)}{f(x)}}\\y'(x)&=y(x)\cdot \left(g'(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)+g(x)\cdot {\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\\&=f(x)^{g(x)}\cdot \left(g'(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)+g(x)\cdot {\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\\\end{aligned}}$ Hasil yang sama juga dapat diperoleh apabila fungsi $y$ dinyatakan sebagai $y(x)=e^{g(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)}$ yang diikuti oleh kaidah rantai.

Perumuman eksponen fungsi

Dengan menggunakan notasi Pi kapital, misalkan ${\begin{aligned}y(x)&=(f_{1}(x))^{g_{1}(x)}\cdot (f_{2}(x))^{g_{2}(x)}\cdot \ldots \cdot (f_{n}(x))^{g_{n}(x)}\\y(x)&=\prod _{i\,=\,1}^{n}f_{i}(x)^{g_{i}(x)}\end{aligned}}$ adalah hasil kali berhingga dari fungsi dengan eksponen fungsi.

Dengan mengenakan logaritma alami pada kedua ruas, operasi perkaliannya akan berubah menjadi operasi penjumlahan, sehingga notasi Pi kapital di atas akan berubah menjadi notasi sigma kapital. ${\begin{aligned}y(x)&=f_{1}(x)^{g_{1}(x)}\cdot f_{2}(x)^{g_{2}(x)}\cdot \ldots \cdot f_{n}(x)^{g_{n}(x)}\\\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left((f_{1}(x))^{g_{1}(x)}\cdot (f_{2}(x))^{g_{2}(x)}\cdot \ldots \cdot (f_{n}(x))^{g_{n}(x)}\right)\\&=\ln \left(f_{1}(x)^{g_{1}(x)}\right)+\ln \left(f_{2}(x)^{g_{2}(x)}\right)+\ldots +\ln \left(f_{n}(x)^{g_{n}(x)}\right)\\&=g_{1}(x)\cdot \ln \left(f_{1}(x)\right)+g_{2}(x)\cdot \ln \left(f_{2}(x)\right)+\ldots +g_{n}(x)\cdot \ln \left(f_{n}(x)\right)\\&=\sum _{i\,=\,1}^{n}g_{i}(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)\end{aligned}}$ Apabila kedua ruas diturunkan terhadap $x$ , maka didapatkan ${\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(g_{i}'(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)+g_{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right)\\y'(x)&=y(x)\cdot \sum _{i\,=\,1}^{n}\left(g_{i}'(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)+g_{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right)\\&=\left(\prod _{i\,=\,1}^{n}f_{i}(x)^{g_{i}(x)}\right)\cdot \sum _{i\,=\,1}^{n}\left(g_{i}'(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)+g_{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right)\end{aligned}}$

Lihat juga

Catatan

^ Krantz, Steven G. (2003). Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. hlm. 170. ISBN 0-07-139308-0.
^ N.P. Bali (2005). Golden Differential Calculus. Firewall Media. hlm. 282. ISBN 81-7008-152-1.
^ ^a ^b Bird, John (2006). Higher Engineering Mathematics. Newnes. hlm. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
^ Blank, Brian E. (2006). Calculus, single variable. Springer. hlm. 457. ISBN 1-931914-59-1.
^ Williamson, Benjamin (2008). An Elementary Treatise on the Differential calculus. BiblioBazaar, LLC. hlm. 25–26. ISBN 978-0-559-47577-1.

[1] Krantz, Steven G. (2003). Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. hlm. 170. ISBN 0-07-139308-0.

[2] N.P. Bali (2005). Golden Differential Calculus. Firewall Media. hlm. 282. ISBN 81-7008-152-1.

[Bird-3] Bird, John (2006). Higher Engineering Mathematics. Newnes. hlm. 324. ISBN 0-7506-8152-7.

[4] Blank, Brian E. (2006). Calculus, single variable. Springer. hlm. 457. ISBN 1-931914-59-1.

[5] Williamson, Benjamin (2008). An Elementary Treatise on the Differential calculus. BiblioBazaar, LLC. hlm. 25–26. ISBN 978-0-559-47577-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

l b s Kalkulus
Prakalkulus	Teorema binomial Fungsi cekung Fungsi kontinu Faktorial Beda hingga Variabel bebas dan variabel terikat Grafik fungsi Fungsi linear Radian Teorema Rolle Sekan Kemiringan Garis singgung
Limit (matematika)	Bentuk tak tentu Limit barisan Limit fungsi Limit sepihak Urutan aproksimasi definisi (ε, δ) dari limit
Kalkulus diferensial	Turunan Turunan kedua Turunan parsial Diferensial Operator diferensial Teorema nilai purata Notasi Notasi Leibniz Notasi Newton Kaidah pendiferensialan jumlahan linearitas pangkat Rantai L'Hôpital darab Aturan umum Leibniz Hasil-bagi Teknik lainnya Turunan implisit Turunan fungsi invers Turunan logaritmik Laju yang berkaitan Titik stasioner Uji turunan pertama Uji turunan kedua Teorema nilai ekstrem Maksimum dan minimum Penerapan lebih lanjut Metode Newton Teorema Taylor Persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Persamaan diferensial parsial Persamaan diferensial stokastik Persamaan diferensial-integral
Kalkulus integral	Integral tak tentu Panjang busur Integral Riemann Sifat dasar Konstanta integrasi Teorema dasar kalkulus Kaidah integral Leibniz Pengintegralan parsial Integral substitusi Substitusi trigonometri Substitusi Euler Substitusi tangen setengah sudut Dekomposisi pecahan parsial Integral kuadratik Kaidah trapesium Volume Integrasi cakram Integrasi kulit Persamaan integral Persamaan diferensial-integral
Kalkulus vektor	Turunan Gradien Turunan berarah Divergensi Kerul Laplace Teorema dasar Integral garis Green Stokes Gauss
Kalkulus multivariabel	Turunan parsial Pengali Lagrange Integral lipat Integral garis Integral permukaan Integral volume Matriks Hesse Matriks Jacobi Geometrik Matrix Topik lanjutan Bentuk diferensial Luar Perumuman teorema Stokes Tensor
Deret	Barisan aritmetika-geometrik Jenis-jenis deret Geometrik Takhingga Harmonik Pangkat Taylor Maclaurin Selang-seling Binomial Fourier Deret teleskopik Uji konvergensi suku ke-n Rasio Akar Integral Perbandingan langsung Perbandingan limit Deret selang-seling Kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Fungsi dan bilangan khusus	Bilangan Bernoulli e (konstanta matematika) Fungsi eksponensial Logaritma alami Aproksimasi Stirling
Sejarah kalkulus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Fluksion Gottfried Wilhelm Leibniz Hukum kekontinuan Infinitesimal Isaac Newton Kalkulus infinitesimal Keumuman aljabar Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Daftar-daftar	Kaidah pendiferensialan Daftar limit Daftar integral Daftar integral dari fungsi eksponensial Daftar integral dari fungsi hiperbolik Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers Daftar integral dari fungsi irasional Daftar integral dari fungsi logaritmik Daftar integral dari fungsi rasional Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers Daftar integral dari fungsi trigonometrik Sekan Sekan kubik
Topik lainnya	Kalkulus kompleks Integral kontur Geometri diferensial Manifol Kelengkungan dari kurva dari permukaan Tensor Rumus Euler–Maclaurin Terompet Jibril Integration bee Bukti bahwa 22/7 melebihi π Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus