In [1] de Villiers points out the duality between sides and angles of quadrilaterals. The first o... more In [1] de Villiers points out the duality between sides and angles of quadrilaterals. The first objective of this article is make explicit two new dualities in the quadrilaterals. For this we will consider the diagonal segments: if diagonals AC and BD of a quadrilateral ABCD intersect at O, we call the diagonal segments OA, OB, OC, OD. According to [2, pp. 179-188], hierarchical classifications of the convex quadrilaterals are made taking as classification criteria the quantity and position of sides, angles and diagonal segments. In hierarchical classifications the more particular concepts form subsets of the more general concepts. Through classification according to the number and position of equal sides it is possible to define six families: four sides equal, at least three equal, two opposite pairs equal, two consecutive pairs equal, at least one opposite pair equal, at least one consecutive pair equal. In the families two opposite pairs equal and two consecutive pairs equal, the...
La comunicación propone una reflexión acerca de la enseñanza y aprendizaje de la geometría euclid... more La comunicación propone una reflexión acerca de la enseñanza y aprendizaje de la geometría euclidiana en nuestros días. La existencia de distintos softwares de Geometría Dinámica desde hace algunas décadas, así como la propuesta teórica de Houdement y Kuzniak (1999), facilitan considerar la inclusión de la conjetura como una actividad posible y deseable a la hora de enseñar, aprender y crear geometría euclidiana. Introducción Se atribuye a Benjamín Franklin (1706 + 84 = 1790) la máxima "Man is a tool-making animal", es decir "los seres humanos son animales que fabrican herramientas". Con esta frase se inicia El paradigma del laberinto (2012), libro del pensador uruguayo Juan Grompone, de donde tomaremos algunas ideas que compartimos y nos sirven como marco para pensar este trabajo referido al conocimiento geométrico-específicamente a la geometría euclidiana-y a su enseñanza y aprendizaje en todos los niveles educativos-en especial la formación de profesores de matemática de enseñanza media-. El Universo que se puede conocer a ojo desnudo estaba acabado con la obra de Tycho Brahe (1546-1601) y de Johannes Kepler (1571-1630). Las medidas de Tycho realizadas en su observatorio de Uraniborg habían conducido a las cuatro leyes del movimiento planetario de Kepler, nada más se podía hacer a menos de perfeccionar la visión humana. El salto ocurrió con Galieli y su telescopio. Un nuevo instrumento de observación prolongaba la capacidad de explorar el universo y condujo directamente al sistema planetario de Newton.
La presente comunicación busca dar cuenta de una experiencia individual, personal, de creación en... more La presente comunicación busca dar cuenta de una experiencia individual, personal, de creación en el ámbito de la geometría euclidiana. se asume el término 'crear' en la acepción 'producir algo de la nada' (RAE). El punto de partida geométrico es un cuadrilátero completo que posibilita-y de alguna manera también acota-un conjunto de preguntas a las que se busca dar respuesta trabajando en un ambiente dinámico. El diario es la forma usada en el intento de captar dicho proceso. Pero no creo que solamente deba escribir lo que sé, sino también lo otro.
, polígono, construcción del conocimiento Resumen Los polígonos son abordados en diferentes curso... more , polígono, construcción del conocimiento Resumen Los polígonos son abordados en diferentes cursos, en diferentes niveles: desde inicial hasta terciario. Sin embargo, cuestionando a estudiantes de formación docente sobre la definición de polígono o de alguno de sus casos particulares, como triángulo o cuadrilátero, encontramos diferencias notorias en sus concepciones. Proponemos en el taller analizar las diferentes concepciones que se tienen de esos casos particulares, estudiar las posibilidades de generalizarlas al caso de polígono, y finalmente acordar una definición que contemple a las de los casos particulares, a las imágenes conceptuales que tenemos de los polígonos y, a la vez, permita generalizar propiedades "deseables" básicas en los polígonos.
espanolRelatamos el trabajo en clase en torno a dos actividades, una referida a poligonos y otra ... more espanolRelatamos el trabajo en clase en torno a dos actividades, una referida a poligonos y otra referida a poliedros. Las mismas se llevaron adelante como parte de las actividades curriculares del curso de Geometria, en dos grupos de primer ano del profesorado de matematica. A traves de estas dos actividades, buscamos comunicar las virtudes y desafios que implica el diseno y puesta en practica de un curso centrado en la actividad matematica de los estudiantes. EnglishWe relate the class work on two activities, one referring to polygons, and another referred to polyhedra. They were carried out as part of curricular activities of a Geometry course in two groups of first year in math teacher’s study. Through these activities we seek to communicate the virtues and challenges of the design and implementation of a course focused on students' mathematical activity portuguesRelatamos o trabalho da classe em duas atividades, uma referindo-se a poligonos e outro referindo-se a poliedros....
Es conocido que la suma de la cantidad de caras y vertices de un poliedro convexo es dos unidades... more Es conocido que la suma de la cantidad de caras y vertices de un poliedro convexo es dos unidades mayor que la cantidad de aristas. Ahora, dados un numero cualquiera de caras y de vertices, ?existe un poliedro con esas caracteristicas? ?Existe mas de uno? ?Que otras condiciones podemos establecer entre sus elementos? En este taller abordamos una indagacion sistematica de los poliedros con la utopia de identificarlos a todos.
Presentamos seis demostraciones del teorema de Napoleon y de varias propiedades que se derivan de... more Presentamos seis demostraciones del teorema de Napoleon y de varias propiedades que se derivan de la misma configuracion. En las demostraciones recurrimos a la geometria metrica, la geometria analitica, los numeros complejos, la trigonometria y las isometrias, alternativamente. Algunas de dichas demostraciones –no las propiedades– son originales, otras son el desarrollo de sugerencias esbozadas en distintos textos y otras son adaptaciones de las halladas en los textos.
espanolSe comunica una experiencia de indagacion y fundamentacion en el ambito de la geometria eu... more espanolSe comunica una experiencia de indagacion y fundamentacion en el ambito de la geometria euclidiana que tuvo como punto de partida un cuadrilatero y los puntos de interseccion de las rectas que contienen a sus lados opuestos. Los paradigmas geometricos propuestos por Houdement y Kuzniak (1999) y Kuzniak (2006) se usan para ubicar grosso modo los argumentos puestos en juego en la creacion y fundamentacion de las ideas geometricas que se manejaron en la experiencia. EnglishWe communicate an experience of inqu iry and foundation in the field of Euclidean geometry which had as its starting point a quadrilateral and the points of intersection of the lines that include opposite sides. The geometric paradigms proposed by Houdement and Kuzniak (1999) and Kuzniak (2006) are used to locate roughly the arguments brought into play in the creation and foundation of geometric ideas that were handled on experience.
espanolEn este trabajo se propone una configuracion geometrica en la que algunas clases de cuadri... more espanolEn este trabajo se propone una configuracion geometrica en la que algunas clases de cuadrilateros permiten dar cuenta de propiedades que no surgen a partir de las clases de cuadrilateros usualmente conocidos. Se trata, ademas, de una invitacion a vivir la experiencia de formular conjeturas, asi como a la creacion dedemostraciones para ellas. El lector considerara su posible uso y la pertinencia de este tipo de vivencias en clase. EnglishIn this paper we propose a geometric configuration in which some classes of quadrilaterals allow to account for properties that do not arise from the classes of quadrilaterals usually known. It is also an invitation to live the experience of formulating conjectures, as well as the creation of a proof for them. The reader will consider its possible use and the relevance of this type of experiences in class
El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triangulo estan alineados en la rect... more El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triangulo estan alineados en la recta de Euler y verifican la relacion . En el presente articulo se define baricentro (G) y ortocentro (H) de un cuadrilatero inscriptible de circuncentro (O) y se demuestra que dichos puntos estan alineados y verifican la relacion
We prove some interesting results on inscribed triangles which are isotomic. For examples, we sho... more We prove some interesting results on inscribed triangles which are isotomic. For examples, we show that the triangles formed by the centroids (respectively orthocenters) of their residuals have equal areas, and those formed by the circumcenters are congruent.
Presentamos una resena del tratamiento que daban distintas culturas antiguas a problemas que en e... more Presentamos una resena del tratamiento que daban distintas culturas antiguas a problemas que en el lenguaje del algebra actual nos remiten a ecuaciones de segundo grado. Recorreremos, sin pretender ser exhaustivos, parte del camino que transitaron culturas como la babilonica, griega, hindu, arabe hasta la resolucion dada por Francois Viete.
Revista Digital Matematica Educacion E Internet Vol 7 Num 2, 2015
El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triángulo están alineados en la rect... more El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triángulo están alineados en la recta de Euler y verifican la relación mGH = 2 • mOG. En el presente artículo se define baricentro (G) y ortocentro (H) de un cuadrilátero inscriptible de circuncentro (O) y se demuestra que dichos puntos están alineados y verifican la relación mGH = 3 • mOG.
geometría axiomática formalista. Se cortan los lazos de la geometría con la realidad. El razonami... more geometría axiomática formalista. Se cortan los lazos de la geometría con la realidad. El razonamiento lógico se impone y los axiomas no se basan en lo sensible, en lo real.
Nivel educativo: Medio-Formación docente Palabras clave: conjetura, demostración, geometría Resum... more Nivel educativo: Medio-Formación docente Palabras clave: conjetura, demostración, geometría Resumen A partir del trabajo en ciertas actividades geométricas se busca generar las condiciones para que el participante establezca relaciones entre la ubicación de ciertos puntos notables del triángulo (circuncentro, ortocentro e incentro), la medida de ciertos ángulos con vértices en dichos puntos notables y una clasificación de los triángulos según sus ángulos. También se busca que los participantes formulen conjeturas en torno a los ángulos de vértices en dichos puntos notables y elaboren pruebas para las mismas. Se promoverá la reflexión sobre la enseñanza y aprendizaje de la formulación de conjeturas, argumentación, refutación, demostración, construcción y deducción, como procesos cognitivos propios del trabajo en geometría en el nivel medio y en la formación de profesores. Las actividades se pueden realizar trabajando tanto en lápiz y papel como en un ambiente dinámico.
In [1] de Villiers points out the duality between sides and angles of quadrilaterals. The first o... more In [1] de Villiers points out the duality between sides and angles of quadrilaterals. The first objective of this article is make explicit two new dualities in the quadrilaterals. For this we will consider the diagonal segments: if diagonals AC and BD of a quadrilateral ABCD intersect at O, we call the diagonal segments OA, OB, OC, OD. According to [2, pp. 179-188], hierarchical classifications of the convex quadrilaterals are made taking as classification criteria the quantity and position of sides, angles and diagonal segments. In hierarchical classifications the more particular concepts form subsets of the more general concepts. Through classification according to the number and position of equal sides it is possible to define six families: four sides equal, at least three equal, two opposite pairs equal, two consecutive pairs equal, at least one opposite pair equal, at least one consecutive pair equal. In the families two opposite pairs equal and two consecutive pairs equal, the...
La comunicación propone una reflexión acerca de la enseñanza y aprendizaje de la geometría euclid... more La comunicación propone una reflexión acerca de la enseñanza y aprendizaje de la geometría euclidiana en nuestros días. La existencia de distintos softwares de Geometría Dinámica desde hace algunas décadas, así como la propuesta teórica de Houdement y Kuzniak (1999), facilitan considerar la inclusión de la conjetura como una actividad posible y deseable a la hora de enseñar, aprender y crear geometría euclidiana. Introducción Se atribuye a Benjamín Franklin (1706 + 84 = 1790) la máxima "Man is a tool-making animal", es decir "los seres humanos son animales que fabrican herramientas". Con esta frase se inicia El paradigma del laberinto (2012), libro del pensador uruguayo Juan Grompone, de donde tomaremos algunas ideas que compartimos y nos sirven como marco para pensar este trabajo referido al conocimiento geométrico-específicamente a la geometría euclidiana-y a su enseñanza y aprendizaje en todos los niveles educativos-en especial la formación de profesores de matemática de enseñanza media-. El Universo que se puede conocer a ojo desnudo estaba acabado con la obra de Tycho Brahe (1546-1601) y de Johannes Kepler (1571-1630). Las medidas de Tycho realizadas en su observatorio de Uraniborg habían conducido a las cuatro leyes del movimiento planetario de Kepler, nada más se podía hacer a menos de perfeccionar la visión humana. El salto ocurrió con Galieli y su telescopio. Un nuevo instrumento de observación prolongaba la capacidad de explorar el universo y condujo directamente al sistema planetario de Newton.
La presente comunicación busca dar cuenta de una experiencia individual, personal, de creación en... more La presente comunicación busca dar cuenta de una experiencia individual, personal, de creación en el ámbito de la geometría euclidiana. se asume el término 'crear' en la acepción 'producir algo de la nada' (RAE). El punto de partida geométrico es un cuadrilátero completo que posibilita-y de alguna manera también acota-un conjunto de preguntas a las que se busca dar respuesta trabajando en un ambiente dinámico. El diario es la forma usada en el intento de captar dicho proceso. Pero no creo que solamente deba escribir lo que sé, sino también lo otro.
, polígono, construcción del conocimiento Resumen Los polígonos son abordados en diferentes curso... more , polígono, construcción del conocimiento Resumen Los polígonos son abordados en diferentes cursos, en diferentes niveles: desde inicial hasta terciario. Sin embargo, cuestionando a estudiantes de formación docente sobre la definición de polígono o de alguno de sus casos particulares, como triángulo o cuadrilátero, encontramos diferencias notorias en sus concepciones. Proponemos en el taller analizar las diferentes concepciones que se tienen de esos casos particulares, estudiar las posibilidades de generalizarlas al caso de polígono, y finalmente acordar una definición que contemple a las de los casos particulares, a las imágenes conceptuales que tenemos de los polígonos y, a la vez, permita generalizar propiedades "deseables" básicas en los polígonos.
espanolRelatamos el trabajo en clase en torno a dos actividades, una referida a poligonos y otra ... more espanolRelatamos el trabajo en clase en torno a dos actividades, una referida a poligonos y otra referida a poliedros. Las mismas se llevaron adelante como parte de las actividades curriculares del curso de Geometria, en dos grupos de primer ano del profesorado de matematica. A traves de estas dos actividades, buscamos comunicar las virtudes y desafios que implica el diseno y puesta en practica de un curso centrado en la actividad matematica de los estudiantes. EnglishWe relate the class work on two activities, one referring to polygons, and another referred to polyhedra. They were carried out as part of curricular activities of a Geometry course in two groups of first year in math teacher’s study. Through these activities we seek to communicate the virtues and challenges of the design and implementation of a course focused on students' mathematical activity portuguesRelatamos o trabalho da classe em duas atividades, uma referindo-se a poligonos e outro referindo-se a poliedros....
Es conocido que la suma de la cantidad de caras y vertices de un poliedro convexo es dos unidades... more Es conocido que la suma de la cantidad de caras y vertices de un poliedro convexo es dos unidades mayor que la cantidad de aristas. Ahora, dados un numero cualquiera de caras y de vertices, ?existe un poliedro con esas caracteristicas? ?Existe mas de uno? ?Que otras condiciones podemos establecer entre sus elementos? En este taller abordamos una indagacion sistematica de los poliedros con la utopia de identificarlos a todos.
Presentamos seis demostraciones del teorema de Napoleon y de varias propiedades que se derivan de... more Presentamos seis demostraciones del teorema de Napoleon y de varias propiedades que se derivan de la misma configuracion. En las demostraciones recurrimos a la geometria metrica, la geometria analitica, los numeros complejos, la trigonometria y las isometrias, alternativamente. Algunas de dichas demostraciones –no las propiedades– son originales, otras son el desarrollo de sugerencias esbozadas en distintos textos y otras son adaptaciones de las halladas en los textos.
espanolSe comunica una experiencia de indagacion y fundamentacion en el ambito de la geometria eu... more espanolSe comunica una experiencia de indagacion y fundamentacion en el ambito de la geometria euclidiana que tuvo como punto de partida un cuadrilatero y los puntos de interseccion de las rectas que contienen a sus lados opuestos. Los paradigmas geometricos propuestos por Houdement y Kuzniak (1999) y Kuzniak (2006) se usan para ubicar grosso modo los argumentos puestos en juego en la creacion y fundamentacion de las ideas geometricas que se manejaron en la experiencia. EnglishWe communicate an experience of inqu iry and foundation in the field of Euclidean geometry which had as its starting point a quadrilateral and the points of intersection of the lines that include opposite sides. The geometric paradigms proposed by Houdement and Kuzniak (1999) and Kuzniak (2006) are used to locate roughly the arguments brought into play in the creation and foundation of geometric ideas that were handled on experience.
espanolEn este trabajo se propone una configuracion geometrica en la que algunas clases de cuadri... more espanolEn este trabajo se propone una configuracion geometrica en la que algunas clases de cuadrilateros permiten dar cuenta de propiedades que no surgen a partir de las clases de cuadrilateros usualmente conocidos. Se trata, ademas, de una invitacion a vivir la experiencia de formular conjeturas, asi como a la creacion dedemostraciones para ellas. El lector considerara su posible uso y la pertinencia de este tipo de vivencias en clase. EnglishIn this paper we propose a geometric configuration in which some classes of quadrilaterals allow to account for properties that do not arise from the classes of quadrilaterals usually known. It is also an invitation to live the experience of formulating conjectures, as well as the creation of a proof for them. The reader will consider its possible use and the relevance of this type of experiences in class
El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triangulo estan alineados en la rect... more El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triangulo estan alineados en la recta de Euler y verifican la relacion . En el presente articulo se define baricentro (G) y ortocentro (H) de un cuadrilatero inscriptible de circuncentro (O) y se demuestra que dichos puntos estan alineados y verifican la relacion
We prove some interesting results on inscribed triangles which are isotomic. For examples, we sho... more We prove some interesting results on inscribed triangles which are isotomic. For examples, we show that the triangles formed by the centroids (respectively orthocenters) of their residuals have equal areas, and those formed by the circumcenters are congruent.
Presentamos una resena del tratamiento que daban distintas culturas antiguas a problemas que en e... more Presentamos una resena del tratamiento que daban distintas culturas antiguas a problemas que en el lenguaje del algebra actual nos remiten a ecuaciones de segundo grado. Recorreremos, sin pretender ser exhaustivos, parte del camino que transitaron culturas como la babilonica, griega, hindu, arabe hasta la resolucion dada por Francois Viete.
Revista Digital Matematica Educacion E Internet Vol 7 Num 2, 2015
El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triángulo están alineados en la rect... more El circuncentro (O), baricentro (G) y ortocentro (H) de todo triángulo están alineados en la recta de Euler y verifican la relación mGH = 2 • mOG. En el presente artículo se define baricentro (G) y ortocentro (H) de un cuadrilátero inscriptible de circuncentro (O) y se demuestra que dichos puntos están alineados y verifican la relación mGH = 3 • mOG.
geometría axiomática formalista. Se cortan los lazos de la geometría con la realidad. El razonami... more geometría axiomática formalista. Se cortan los lazos de la geometría con la realidad. El razonamiento lógico se impone y los axiomas no se basan en lo sensible, en lo real.
Nivel educativo: Medio-Formación docente Palabras clave: conjetura, demostración, geometría Resum... more Nivel educativo: Medio-Formación docente Palabras clave: conjetura, demostración, geometría Resumen A partir del trabajo en ciertas actividades geométricas se busca generar las condiciones para que el participante establezca relaciones entre la ubicación de ciertos puntos notables del triángulo (circuncentro, ortocentro e incentro), la medida de ciertos ángulos con vértices en dichos puntos notables y una clasificación de los triángulos según sus ángulos. También se busca que los participantes formulen conjeturas en torno a los ángulos de vértices en dichos puntos notables y elaboren pruebas para las mismas. Se promoverá la reflexión sobre la enseñanza y aprendizaje de la formulación de conjeturas, argumentación, refutación, demostración, construcción y deducción, como procesos cognitivos propios del trabajo en geometría en el nivel medio y en la formación de profesores. Las actividades se pueden realizar trabajando tanto en lápiz y papel como en un ambiente dinámico.
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