Analisi matematica/Esempi integrali dipendenti

Esempi di derivazione di integrali dipendenti da un parametro

1. $\Phi (y)=\int _{0}^{1}x^{y}dx;$

   ${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{1}\log \ x\ x^{y}\ dx=-{1 \over (y+1)^{2}.}$

2. $\Phi (y)=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}y-2xy^{3})dx;$

   ${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}-6xy^{2})dx-{y \over {\sqrt {1-y^{2}}}}[4{\sqrt {(1-y^{2})^{3}}}\ y-2y^{3}{\sqrt {1-y^{2}}}]=$

   $=(x^{4}-3x^{2}y^{2})_{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}-y^{2}(4-6y^{2})=1-9y^{2}+10y^{4}$