Onde meccaniche elastiche/Onde trasversali

Nelle onde trasversali il moto delle particelle è ortogonale alla direzione di propagazione dell'onda. Immaginiamo una corda tesa sulla quale imprimiamo una perturbazione: essa inizierà a oscillare. La velocità di propagazione dell'onda, intuitivamente, aumenta all'aumentare della tensione del filo, che rappresenta la forza di richiamo elastica.

Consideriamo una corda omogenea, di tensione ${\vec {\tau }}$ e densità lineare $\mu ={\frac {dm}{dx}}$. La massa sarà quindi $dm=\mu dx$, scelto un asse orizzontale parallelo alla corda a riposo. Studiamo un tratto compreso tra $x$ e $x+dx$ sottoposto alla perturbazione, quindi dislocato di una quantità $y=\alpha (x,\,t)$ dalla posizione di riposo. La tensione del filo può essere schematizzata come ${\vec {\tau }}(x)$ e ${\vec {\tau }}(x+dx)$; in modulo le due tensioni sono uguali, ma cambiano direzione e verso:

${\vec {f}}=m{\vec {a}}=>\tau \sin(\theta +d\theta )-\tau sin\theta =dma=\mu dx{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}$

Gli angoli che vengono a formarsi, però, sono sempre molto piccoli se la tensione è forte; quindi possiamo approssimare a:

${\begin{aligned}\tau (\theta +d\theta )-\tau \theta &=\mu {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}dx\\\tau d\theta &=\mu {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}dx\end{aligned}}$

L'angolo $\theta$ coincide con la pendenza della corda, ovvero $\theta \approx \tan \theta ={\frac {\partial \alpha }{\partial x}}$; per ottenere l'espressione di $d\theta$, deriviamo quella appena trovata rispetto al tempo:

$d\theta ={\frac {\partial \theta }{\partial x}}dx={\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}dx$

Lo sostituiamo nell'espressione trovata prima, ottenendo la funzione dell'onda:

${\begin{aligned}\tau {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}dx&=\mu {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}dx\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}&=\left({\frac {\mu }{\tau }}\right){\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

Da cui ricaviamo che la velocità di propagazione dell'onda è ${\sqrt {\frac {\tau }{\mu }}}$ che, come nei casi precedenti, dipende ancora una volta solo dalle caratteristiche del mezzo.