Arcotangente

In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all'intervallo $\left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\subset \mathbb {R} .$

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di $x$ è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è $x$. È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilità della funzione.

Notazione

La notazione matematica dell'arcotangente è $\arctan$ o ${\rm {arctg}}$; è comune anche la scrittura $\tan ^{-1}$. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà

Grafico della funzione y=arctan(x)

• L'arcotangente è una funzione definita sull'insieme dei numeri reali:

$\arctan :\mathbb {R} \rightarrow \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right).$

• La sua immagine è l'intervallo:

$\arctan(\mathbb {R} )=\left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\subset \mathbb {R} .$

• Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio:

$\lim _{x\to -\infty }\arctan(x)=-{\pi \over 2},$

$\lim _{x\to +\infty }\arctan(x)={\pi \over 2}.$

• La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:

$\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} :x_{1}<x_{2}\Rightarrow \arctan(x_{1})<\arctan(x_{2}).$

• È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):

$\arctan(x)=-\arctan(-x)\qquad {\text{o equivalentemente}}\qquad \arctan(-x)=-\arctan(x),$

ed è di classe $C^{\infty }$ cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine:

$\forall \,x_{0}\in \mathbb {R} ,\forall n\in \mathbb {N} \quad \exists \;\lim _{x\to x_{0}}\arctan ^{(n)}(x)=\arctan ^{(n)}(x_{0})$

$\arctan '(x)={1 \over 1+x^{2}},$

$\arctan ''(x)={-2x \over \left(1+x^{2}\right)^{2}},$

$\arctan ^{(3)}(x)={6x^{2}-2 \over \left(1+x^{2}\right)^{3}},$

$\arctan ^{(4)}(x)={-24x^{3}+24x \over \left(1+x^{2}\right)^{4}},$

$\cdots$

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è:

$\arctan(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{x^{2k+1} \over 2k+1}=x-{x^{3} \over 3}+{x^{5} \over 5}-{x^{7} \over 7}+\cdots$

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se $\vert x\vert \leq 1.$

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

$\arctan \left(x_{1}\right)\pm \arctan \left(x_{2}\right)={\begin{cases}Y&\pm x_{1}x_{2}<1\\{\rm {segno}}\left(x_{1}\right)\,{\displaystyle \,\pi \; \over 2}\qquad &\pm x_{1}x_{2}=1\\Y+{\rm {segno}}\left(x_{1}\right)\,\pi &\pm x_{1}x_{2}>1\\\end{cases}}$

nelle quali

$Y=\arctan \left({x_{1}\pm x_{2} \over 1\mp x_{1}x_{2}}\right).$

Si ha inoltre che, per $x>0$:

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}.$

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza $x$ e $1$. L'angolo opposto al cateto di lunghezza $x$ avrà ampiezza pari a $\arctan(x)$, mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza $1$ avrà ampiezza pari a $\arctan \left({1 \over x}\right)$. Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)+{\pi \over 2}=\pi ,$

e quindi si giunge a:

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}.$

Applicazioni

• In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il suo cateto opposto e il cateto adiacente.
• Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco. Queste formule sono conosciute come formule di tipo Machin.

Bibliografia

• Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

Voci correlate

• Tangente (matematica)
• Arcotangente2

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Collegamenti esterni

• arcotangente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arctàn, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• arcotangènte, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arcotangènte, su sapere.it, De Agostini.
• arcotangente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, inverse tangent, su MathWorld, Wolfram Research.