Il completamento del quadrato è una tecnica con numerose applicazioni in diversi campi della matematica. È utilizzato, ad esempio, in algebra per risolvere le equazioni quadratiche, in geometria analitica per determinare la forma di un grafico, nel calcolo infinitesimale per calcolare alcuni integrali, fra cui quelli che definiscono la trasformata di Laplace. L'obiettivo di questa tecnica è sostanzialmente quello di ricondurre un polinomio quadratico in una variabile (in un'equazione o espressione) al quadrato di un polinomio di primo grado. Ciò permette di ottenere una forma più facilmente trattabile allo scopo di risolvere un'equazione, calcolare un integrale, e così via.
In altre parole, il completamento del quadrato permette di raggiungere una forma come la seguente:
Dove al posto dei puntini vi è un polinomio di primo grado contenente x.
In algebra elementare, il completamento del quadrato, è una tecnica con cui un polinomio quadratico viene trasformato in un'espressione contenente il quadrato di un polinomio lineare e una costante. Essa converte un'espressione della forma:
ad una della forma:
I coefficientia, b, c, d ed f possono, a loro volta, essere espressioni matematiche in variabili diverse dalla x.
Il completamento del quadrato è utilizzato comunemente per ricavare la formula risolutiva delle equazioni quadratiche.
In questo modo si possono trovare i valori di x che annullano il polinomio, cioè le sue soluzioni:
In maniera analoga, si può determinare il valore di x in cui la funzione definita dal polinomio:
assume il valore estremo (massimo o minimo). La potenza di grado maggiore, x2, ha un coefficiente positivo, dunque valori molto grandi (positivi o negativi) di x permettono di ottenere valori arbitrariamente grandi di y. Di conseguenza, l'estremo è il valore minimo di y. Completando il quadrato:
si vede che per:
vale y = −169⁄20 = −8.45; ma se x è un qualsiasi altro numero, allora y è −169⁄20 più il quadrato di un numero diverso da 0. Dal momento che il quadrato di un numero diverso da 0 è positivo, segue che per ogni valore di x diverso da −7⁄10, vale y > −8.45. Quindi nel punto (x, y) = (−7⁄10, −169⁄20) = (−0.7, −8.45) si ha il valore minimo di y.
Esso si può risolvere completando il quadrato a denominatore. Il denominatore è:
.
Si può completare il quadrato aggiungendo (10⁄2)2 = 25 ad x2−10x in modo da ottenere un quadrato perfetto, x2 − 10x + 25 = (x−5)2. Il denominatore diventa:
Pertanto l'integrale è:
Il punto chiave è che questa forma del denominatore permette di applicare un risultato noto delle tavole di integrali:
che è ovviamente una quantità reale. Ciò accade perché:
Come esempio ulteriore, l'espressione:
dove a, b, c, x, e y sono numeri reali, con a > 0 e b > 0, si può esprimere in termini del quadrato del valore assoluto di un numero complesso. Si ponga:
si dimostra che la somma di un numero positivo x e del suo reciproco è sempre maggiore o uguale a 2. Infatti il quadrato di un'espressione reale è sempre maggiore o uguale a 0; l'uguaglianza si ottiene solo se x è 1, facendo così in modo che il quadrato si annulli.
Esempio: fattorizzare un semplice polinomio di quarto grado