Distribuzione di Bernoulli

In teoria delle probabilità la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) è una distribuzione di probabilità su due soli valori: $0$ e $1$, detti anche fallimento e successo. Prende il nome dallo scienziato svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705).

Distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$
Funzione di distribuzione discreta Tre esempi di distribuzioni di Bernoulli:      $P(x=0)=0,2$ e $P(x=1)=0,8$      $P(x=0)=0,8$ e $P(x=1)=0,2$      $P(x=0)=0,5$ e $P(x=1)=0,5$
Funzione di ripartizione
Parametri	$p\in [0,1]$ $q=1-p$
Supporto	$\{0,1\}\$
Funzione di densità	$f(x)={\begin{cases}q=1-p&{\text{se }}x=0\\p&{\text{se }}x=1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$
Funzione di ripartizione	$F(x)={\begin{cases}0&{\text{se }}x<0\\1-p&{\text{se }}0\leq x<1\\1&{\text{se }}x\geq 1\end{cases}}$
Valore atteso	$p\$
Varianza	$pq\$
Indice di asimmetria	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Curtosi	${\frac {1}{pq}}-6$
Entropia	$-q\log(q)-p\log(p)\$
Funzione generatrice dei momenti	$q+pe^{t}\$
Funzione caratteristica	$q+pe^{it}\$

Definizione

Una variabile aleatoria discreta $X$ ha distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ di parametro $p\in [0,1]$ se e solo se

$P(X=1)=p,$

$P(X=0)=q=1-p,$

ossia

$P(X=i)=p^{i}(1-p)^{1-i}$ per $i=0,1.$

Il valore atteso è

$\mathrm {E} (X)=0\cdot p^{0}(1-p)^{1-0}+1\cdot p^{1}(1-p)^{1-1}=p,$

e la varianza è

$\mathrm {Var} (X)=pq=p(1-p).$

Altre leggi

Un processo di Bernoulli è una successione di variabili aleatorie indipendenti $X_{i}$ di uguale distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$, dette prove di Bernoulli. Da tale processo si possono definire le seguenti ulteriori leggi. La distribuzione binomiale descrive la probabilità del numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, ovvero della variabile aleatoria

$S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}.$

La distribuzione geometrica e più in generale la distribuzione di Pascal descrivono il tempo del primo e del $k$-esimo successo rispettivamente, ovvero le variabili aleatorie $T=T_{1}$ e $T_{k}$ definite come

$T_{k}=\min\{t\colon S_{t}=k\}.$

Bibliografia

• Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduzione alla statistica, McGraw-Hill, 1991.
• Paolo Baldi, Calcolo delle probabilità e statistica, 2ª ed., McGraw-Hill, 1998, ISBN 9788838607370.
• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.

Voci correlate

• Distribuzione binomiale
• Distribuzione geometrica
• Distribuzione di Pascal
• Variabile casuale
• Processo di Bernoulli

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Collegamenti esterni

• Bernoulli, distribuzione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) standardized random variable, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Bernoulli, su MathWorld, Wolfram Research.