Connettivo logico

Un connettivo logico o operatore logico (nel contesto dell'algebra di Boole, i connettivi logici sono detti anche operatori booleani), è un elemento grammaticale di collegamento che instaura fra due proposizioni A e B una qualche relazione che dia origine ad una terza proposizione C con un valore vero o falso, in base ai valori delle due proposizioni fattori ed al carattere del connettivo utilizzato.

Descrizione

I connettivi logici possono essere separati da parentesi tonde. Esistono regole di precedenza fra i connettivi logici (dimostrabili col semplice calcolo algebrico), analoghe a quelle esistenti fra le quattro operazioni elementari (secondo le quali la coppia di moltiplicazione e divisione, precedono somma e sottrazione): la negazione precede tutti gli altri connettivi, congiunzione e disgiunzione precedono sia l'implicazione che la doppia implicazione. Le regole di precedenza rendono in molti casi superfluo l'uso delle parentesi tonde, che possono tranquillamente essere omesse.

Operatore	Precedenza
$\neg$	1
$\wedge$	2
$\vee$	3
$\rightarrow$	4
$\leftrightarrow$	5

Ognuna delle operazioni logiche suddette è efficacemente esplicata nella propria tabella della verità, la quale evidenzia i valori risultanti da tutte le possibili combinazioni esistenti fra le due proposizioni di partenza A e B, siano esse vere o false, utilizzando il connettivo dato. Le tavole di verità degli operatori logici sono state formalizzate per la prima volta nel Tractatus logico-philosophicus di Ludwig Wittgenstein.

Assunti di base della tavola di verità sono il principio di determinatezza e il principio di bivalenza, degli enunciati dichiarativi secondo il quale una proposizione può trovarsi in uno e un solo Stato di verità, e gli Stati di verità possibili che un enunciato può assumere sono soltanto due, "vero" oppure "falso". Entrambi i due principi citati non sono dimostrati né in via deduttiva (dal generale al particolare) né in via induttiva (dal caso particolare a quello generale), e nello stesso tempo non sono negati da nessuna delle logiche matematiche note; si applicano al singolo enunciato elementare atomico, non ulteriormente scomponibile, e non sono da confondere con principi equivalenti ma "binari", cioè che si applicano invece all'insieme di due o più enunciati legati da un connettivo logico: principio di non-contraddizione (più propriamente antinomia del mentitore) e principio del terzo escluso.

Non tutti gli enunciati sono di tipo dichiarativo ovvero atti ad assumere un valore di verità "vero" oppure "falso": già Aristotele affermava che la preghiera è un discorso né vero né falso, quindi irrilevante per la logica. Altro esempio di enunciati non dichiarativi sono quelli modali, caratterizzati dalle parole logiche: "può essere..", "deve necessariamente...", "credo che...", "so che..."; oppure il paradosso del mentitore: "il cretese Epimènide dice che tutti i cretesi sono bugiardi", "questa frase è falsa".

Tipologie

I principali connettivi logici binari sono:

la congiunzione logica e, in latino et, in logica booleana AND, indicata con il simbolo $\land$
la disgiunzione inclusiva o (talvolta indicato come e/o), in latino vel, in logica booleana OR, indicata con il simbolo $\lor$
la disgiunzione esclusiva o o o... o..., in latino aut, in logica booleana XOR, indicata dal simbolo ${\dot {\lor }}$ oppure $\not \equiv$
l'implicazione logica se ... allora ... indicata col simbolo $\Rightarrow$ oppure $\supset$
la coimplicazione o doppia implicazione se e solo se indicata col simbolo $\Leftrightarrow$ oppure $\equiv$

Spesso si annovera inoltre fra i connettivi logici la negazione logica "non", indicata con il simbolo $\neg$ la quale agisce però su un'unica proposizione, mentre gli altri connettivi logici si dicono appunto binari perché operano su almeno due proposizioni.

Bibliografia

Lloyd Humberstone, The Connectives, Cambridge (MA), The MIT Press, 2011, ISBN 978-0-262-01654-4.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Connettivo logico, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Connettivo logico, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) Lloyd Humberstone, Sentence Connectives in Formal Logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.
(EN) John MacFarlane, Logical constants, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.

Controllo di autorità	GND (DE) 4168049-2

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