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In matematica , la sequenza di Farey
F
n
{\displaystyle F_{n}}
numero naturale positivo
n
{\displaystyle n}
numeri razionali irriducibili (cioè tali che numeratore e denominatore siano coprimi ) espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore compresi tra zero e
n
{\displaystyle n}
F
1
=
{
0
1
;
1
1
}
{\displaystyle F_{1}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{1}}\right\}}
F
2
=
{
0
1
;
1
2
;
1
1
}
{\displaystyle F_{2}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{1}}\right\}}
F
3
=
{
0
1
;
1
3
;
1
2
;
2
3
;
1
1
}
{\displaystyle F_{3}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {1}{1}}\right\}}
F
4
=
{
0
1
;
1
4
;
1
3
;
1
2
;
2
3
;
3
4
;
1
1
}
{\displaystyle F_{4}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {1}{1}}\right\}}
F
5
=
{
0
1
;
1
5
;
1
4
;
1
3
;
2
5
;
1
2
;
3
5
;
2
3
;
3
4
;
4
5
;
1
1
}
{\displaystyle F_{5}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {2}{5}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{5}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {4}{5}};{\frac {1}{1}}\right\}}
Per i numeratori, sequenza A006842 dell'OEIS , sequenza A006843 per i denominatori.
Ciascuna sequenza ha un numero dispari di termini, per ogni
n
>
1
{\displaystyle n>1}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Ciascuna sequenza è "simmetrica" rispetto al termine centrale
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
n
d
{\displaystyle {\frac {n}{d}}}
d
−
n
d
{\displaystyle {\frac {d-n}{d}}}
Dati due termini consecutivi di una sequenza
p
i
q
i
,
p
i
+
1
q
i
+
1
{\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}}
p
i
+
1
⋅
q
i
−
p
i
⋅
q
i
+
1
=
1
{\displaystyle p_{i+1}\cdot q_{i}-p_{i}\cdot q_{i+1}=1}
Dati tre termini consecutivi di una sequenza
p
i
−
1
q
i
−
1
,
p
i
q
i
,
p
i
+
1
q
i
+
1
{\displaystyle {\frac {p_{i-1}}{q_{i-1}}},{\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}}
p
i
q
i
=
(
p
i
−
1
+
p
i
+
1
)
(
q
i
−
1
+
q
i
+
1
)
{\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {(p_{i-1}+p_{i+1})}{(q_{i-1}+q_{i+1})}}\,}
Di conseguenza, data la successione
F
n
{\displaystyle F_{n}}
a
c
{\displaystyle {\frac {a}{c}}}
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
F
m
{\displaystyle F_{m}}
m
>
n
{\displaystyle m>n}
a
+
b
c
+
d
{\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}}
Definito come
N
(
n
)
{\displaystyle N(n)\,}
F
n
{\displaystyle F_{n}\,}
N
(
n
)
=
1
+
∑
k
=
1
n
ϕ
(
k
)
{\displaystyle N(n)=1+\sum _{k=1}^{n}\phi (k)\,}
Dove
ϕ
(
k
)
{\displaystyle \phi (k)\,}
funzione phi di Eulero .
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