Spazio di misura

In analisi matematica uno spazio di misura (o spazio mensurale, o spazio di Lebesgue) è una struttura astratta utilizzata per formalizzare il concetto di misura, come generalizzazione delle idee elementari di lunghezza di una curva o area di una superficie^[1].

Definizione

Si definisce spazio di misura uno spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$ dotato di una misura $\mu$ positiva definita sulla σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ costituita da sottoinsiemi misurabili di $X$ .^[2] Un tale spazio si rappresenta con una terna $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ .

Quando lo spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$ è uno spazio boreliano, talvolta lo spazio di misura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ è detto spazio di misura boreliano. Dato uno spazio di misura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ , in genere si denota con $|\mu |$ la variazione totale di $\mu$ su $(X,{\mathfrak {F}})$ .

Se $|\mu |(X)<\infty$ lo spazio di misura si dice finito. Se inoltre $X$ può scriversi come unione numerabile di insiemi:

X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}

di misura finita, cioè tali che $|\mu |(X_{i})<\infty$ , allora lo spazio misurabile si dice σ-finito.

Spazio di probabilità

Uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ è uno spazio di misura tale che $P(E)\geq 0$ per ogni $E\in {\mathcal {F}}$ e $P(\Omega )=1$ . In questo contesto $P$ è detta misura di probabilità. Dalla definizione stessa, segue che uno spazio di probabilità è sempre uno spazio di misura finita.

La struttura di spazio di probabilità è stata introdotta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov negli anni trenta, nell'ambito di una serie di lavori del matematico russo che hanno posto i fondamenti dell'intera teoria della probabilità.

Completamento di uno spazio di misura

Uno spazio di misura si dice completo se ogni insieme contenuto in un insieme nullo è misurabile (avendo ovviamente in questo caso misura nulla). In generale, da un punto di vista pratico, è conveniente utilizzare spazi completi.^[3] Tuttavia, dato uno spazio di misura non completo, è sempre possibile estenderlo ad uno spazio completo nel seguente senso.

Sia $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ uno spazio di misura. Esiste un unico spazio di misura completo $(X,{\mathfrak {F}}^{\prime },\mu ^{\prime })$ , detto completamento di $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ , sullo stesso insieme $X$ con le seguenti proprietà:

la σ-algebra ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ è più fine (cioè contiene) ${\mathfrak {F}}$ .
la misura $\mu ^{\prime }$ ristretta ad ${\mathfrak {F}}$ coincide con $\mu$ , ossia per ogni sottoinsieme misurabile di $X$ $E\in {\mathfrak {F}}$ accade $\mu (E)=\mu ^{\prime }(E)$ .
se $(X,{\mathfrak {G}},\nu )$ è un altro spazio con tale proprietà, allora ${\mathfrak {G}}$ è più fine di ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ (o equivalentemente, ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ è la meno fine tra tutte le σ-algebre su cui sia possibile effettuare tale costruzione).

Evidentemente, se $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ è completo, esso coincide col suo completamento. In generale è possibile costruire in maniera esplicita il completamento di uno spazio non completo. Ne illustriamo qui la procedura.

Consideriamo l'insieme ${\mathfrak {N}}$ di tutti gli insiemi contenuti in insiemi nulli (tali insiemi sono talvolta detti trascurabili). Sia ${\mathfrak {F}}^{\prime }=\sigma \left({\mathfrak {N}}\bigcup {\mathfrak {F}}\right)$ la più piccola σ-algebra contenente sia gli elementi di ${\mathfrak {F}}$ che quelli di ${\mathfrak {N}}$ ^[4]. Poiché l'unione e l'intersezione numerabili di insiemi trascurabili è trascurabile, si vede facilmente che ogni elemento $E^{\prime }$ di ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ può essere ottenuto da un elemento $E$ di ${\mathfrak {F}}$ unendovi o sottraendovi un insieme trascurabile. Sarà allora sufficiente estendere $\mu$ ad una nuova misura su $(X,{\mathfrak {F}}^{\prime })$ semplicemente ponendo $\mu ^{\prime }(E^{\prime }):=\mu (E)$ .

Un caso notevole, è quello dello spazio di misura di Lebesgue (il secondo esempio sopra), che è il completamento dello spazio di Borel (il primo esempio sopra).

La categoria degli spazi di misura

L'insieme degli spazi di misura forma una categoria, dove i morfismi sono dati dalle funzioni misurabili che conservano la misura. Più precisamente, dati due spazi di misura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ , $(Y,{\mathfrak {G}},\nu )$ un morfismo è naturalmente associato ad una funzione $f:X\mapsto Y$ tale che:

$f$ sia $({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})$ -misurabile^[5].
Per ogni insieme $F\in {\mathfrak {G}}$ accade $\mu \left(f^{-1}(F)\right)=\nu (F)$ .

In particolare, i due spazi di misura si diranno isomorfi se esiste una funzione biiettiva $f:X\mapsto Y$ misurabile e con inversa misurabile, tale che per ogni $E\in {\mathfrak {F}}$ accada $\mu (E)=\nu (f(E))$ .

Dato uno spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$ , e due misure $\mu ,\nu$ su di esso, $\nu$ si dice assolutamente continua rispetto a $\mu$ se ogni insieme $E\in {\mathfrak {F}}$ che ha misura nulla rispetto a $\mu$ ha misura nulla anche rispetto a $\nu$ : $\mu (E)=0\Rightarrow \nu (E)=0$ Due misure assolutamente continue l'una rispetto all'altra si dicono equivalenti.

Isomorfismi di spazi misurabili

Dal teorema di Radon-Nikodym si può allora dedurre la seguente preposizione: siano $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ e $(X,{\mathfrak {F}},\nu )$ due spazi di misura σ-finiti costruiti sopra il medesimo spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$ . Se $\mu ,\,\nu$ sono equivalenti, allora i due spazi sono isomorfi.

Applicazioni

Naturalmente, l'applicazione più naturale della nozione di spazio di misura si ha proprio nella teoria della misura, in quanto essa costituisce un oggetto fondamentale di tale teoria.

Se $(X,{\mathfrak {F}})$ è uno spazio misurabile ed $S$ un semigruppo, un'azione misurabile di $S$ su $X$ è una famiglia (indicizzata dal parametro $s\in S$ ) di mappe misurabili $T_{s}:X\mapsto X$ tali che $T_{s}\circ T_{t}=T_{st}$ per ogni $s,t\in S$ . Un sistema dinamico conservativo è una quadrupla $(X,{\mathfrak {F}},\mu ,S)$ , dove $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ è uno spazio di misura, e $T$ è un'azione misurabile di un semigruppo $S$ su $X$ , che conserva la misura: $\mu \left(T_{s}^{-1}(E)\right)=\mu (E)$ per ogni $E\in {\mathfrak {F}},\,s\in S$ . La teoria dei sistemi dinamici conservativi è -nonostante la sua generalità- molto ricca. Da essa si possono ad esempio derivare con semplicità e generalità molte delle proprietà della meccanica classica. Infatti, i sistemi hamiltoniani rientrano nella classe dei sistemi dinamici conservativi.

Esempi

La terna $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}},\mu )$ , dove $\mathbb {R}$ è la retta reale, ${\mathfrak {B}}$ è la relativa σ-algebra boreliana, e $\mu$ è la misura di Borel è uno spazio di misura boreliano. Questo non è uno spazio finito, in quanto la misura (in questo caso lunghezza) dell'intera retta reale è infinita. Tuttavia tale spazio è σ-finito, in quanto ogni intervallo del tipo $[n,n+1]$ ha misura $1$ , ed $\mathbb {R} =\bigcup _{n}[n,n+1]$ .
La terna $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {L}},\lambda )$ , dove ${\mathfrak {L}}$ è la σ-algebra di Lebesgue, e $\lambda$ è la misura di Lebesgue è uno spazio di misura non boreliano. Questo spazio di misura è pure σ-finito, per la stessa motivazione data sopra.
Lo spazio discreto $\Omega =\{1,\ldots ,n\}$ , con la convenzione che ogni sottoinsieme di $\Omega$ è misurabile e la misura di un sottoinsieme è data da $\mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}}$ , è uno spazio di probabilià.
Se $\Omega$ è uno spazio di misura finita, allora si può ottenere uno spazio di probabilità introducendo la misura $\mathbb {P} (A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}$ .

Note

^ Rimandiamo alla voce teoria della misura per un'introduzione storica e qualitativa alle nozioni della teoria della misura. Un'introduzione storica si trova anche in Boyer, History of Mathematics.
^ W. Rudin, Pag. 16.
^ Uno dei vantaggi di lavorare con spazi completi è il seguente: gli insiemi di misura nulla, in un certo senso, contano poco. Molte interessanti proprietà matematiche relative a spazi di misura sono verificate quasi ovunque (ossia, a meno di un insieme di misura nulla). Se vogliamo dimostrare che una data proprietà è valida quasi ovunque, in uno spazio completo sarà sufficiente dimostrare che essa è valida almeno per tutti i punti al di fuori di un qualunque insieme di misura nulla. Invece, per uno spazio non completo, dovremo dimostrare che l'insieme di punti per cui essa non è valida, è misurabile ed ha misura nulla (questa seconda asserzione è in generale più difficile da mostrare).
^ Si veda la sezione Principali risultati della voce σ-algebra per approfondire la nozione di σ-algebra generata da una famiglia di insiemi.
^ Si veda la voce funzione misurabile per eventuali chiarimenti su questa notazione.

Bibliografia

Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.

Donald L. Cohn, Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0.

Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Spazio di misura, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Spazio di misura, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Rimandiamo alla voce teoria della misura per un'introduzione storica e qualitativa alle nozioni della teoria della misura. Un'introduzione storica si trova anche in Boyer, History of Mathematics.

[def-2] W. Rudin, Pag. 16.

[3] Uno dei vantaggi di lavorare con spazi completi è il seguente: gli insiemi di misura nulla, in un certo senso, contano poco. Molte interessanti proprietà matematiche relative a spazi di misura sono verificate quasi ovunque (ossia, a meno di un insieme di misura nulla). Se vogliamo dimostrare che una data proprietà è valida quasi ovunque, in uno spazio completo sarà sufficiente dimostrare che essa è valida almeno per tutti i punti al di fuori di un qualunque insieme di misura nulla. Invece, per uno spazio non completo, dovremo dimostrare che l'insieme di punti per cui essa non è valida, è misurabile ed ha misura nulla (questa seconda asserzione è in generale più difficile da mostrare).

[4] Si veda la sezione Principali risultati della voce σ-algebra per approfondire la nozione di σ-algebra generata da una famiglia di insiemi.

[5] Si veda la voce funzione misurabile per eventuali chiarimenti su questa notazione.

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