Axioma electionis consequentis

Axioma electionis consequentis (saepe DC significatur pro anglice "dependent choice") in theoria mathematica copiarum, anno 1942 a Paulo Bernays propositum, hoc dicere vult:

Sit $X$ copia non vacua, $R$ talis relatio binaria, ut cuique $x\in X$ sit $y\in X$ ut $xRy$. Tum est sequentia $(x_{n})_{n\in \omega }$ ut cuique $n$ habeamus $x_{n}Rx_{n+1}$.

DC, sicut AC (axioma electionis), non ab axiomatibus aliis in ZF pendet: id est, exemplar est ZF (si congruentia sunt) in quo DC non satisfaciatur. Sed minus est valens: est quidem exemplar in quo DC satisfaciatur nec AC.

Ad doctrinam mathematicam analysin realem tractandam DC modo sat est (nam sine ulla electione conceptiones analysis realis definiri nequeunt), proporro ei doctrinae quia consequentias inusitatas axiomatis electionis (sicut paradoxum Banach-Tarski) vitat magis convenit. Ut exemplo est, probatum est a Solovay anno 1970, quod est exemplar ZF+DC, in quo omnes copias realium metiri possumus, dum congruentia sint axiomata ZFC+"est cardinalis inaccessus". Paradoxum Banach-Tarski cum copiis immensabilibus utatur, non in hoc exemplare valet.