Theoremata Gödel de imperfectione

Monumentum in aedibus ubi Gödel Vindobonae annis 1937–1939 habitabat.

Theoremata Gödeliana de imperfectione sunt duo theoremata theoriae facultatis calculandi a Curtio Gödel inventa, quae imperfectam omnium theoriarum de numeris naturalibus naturam demonstrant.

Theorema primum

Expositio

Theorema. Sit theoria $T$ , quae est copia sententiae primi ordinis, signatura $S:=\{0,+,\cdot ,<,E\}$ . Si $T$ est perfecta et congruens, in qua continentur axiomata PA, tum $T$ non est copia RE.

Nota bene:

$T$ perfecta dicitur, si cuique sententia primi ordinis $\sigma$ , aut $T\vdash \sigma$ aut $T\vdash \neg \sigma$ .
$T$ congruens dicitur, si non est sententia primi ordinis $\sigma$ , ut $T\vDash (\sigma \land \neg \sigma )$ .

Demonstratio brevis

Numeri Gödel

Sit signatura primi ordinis ut $S$ , quae est countabilis. Lingua igitur huius signaturae quoque countabilis est.

Lemma a Gödel monstratum est, quod functionem $\sharp :L_{S}\to \mathbb {N}$ esse dicat, ut sit functio arithmetica uni cuique operationi formularum in $L_{S}$ . Ut, exempli gratia, operatio $\land$ , quae duas formulas colligat. Hoc lemma ait functionem arithmeticam esse, quae tantum signis in $S$ utens numerus formulae $(\phi \land \psi )$ calculat ab numeris formularum $\phi$ et $\psi$ . Responsa huius functionis numeri Gödel nominata sunt.

Sit autem $\phi$ formula. Demonstratio formalis est series finita formularum quae $\phi$ ab formulis in $T$ concipiunt. Si demonstratio formalis est formulae $\phi$ , dicamus $T\vdash \phi$ . Scilicet igitur cuique demonstrationi formali est series finita numerorum Gödel, quae in unum numerum imponi potest. Formulam igitur $\operatorname {Prv} _{T}(n)$ nancisci possumus, ut

T\vdash \phi \implies T\vdash \operatorname {Prv} _{T}(\sharp \phi )

Quare? Haec formula tantum dicit numerum seriei formularum esse, quae est demonstratio formalis formulae $\phi$ .

Lemma de puncto immobili

Sit theoria $T$ congruens et RE, axiomata Peano continens. Tum fieri potest ut sententiam $\gamma$ nanciscamur, ut $T\vdash (\gamma \leftrightarrow \neg \operatorname {Prv} _{T}(\sharp \gamma ))$ .

Demonstratio theorematis

Sit theoria $T$ congruens, RE et perfecta, ita ut cuique sententiae $\sigma$ , aut $T\vdash \sigma$ aut $T\vdash \neg \sigma$ . Sit $\gamma$ ut dixi. Sed,

Si $T\vdash \gamma$ , igitur $T\vdash \neg \operatorname {Prv} _{T}(\sharp \gamma )$ . Sed est scilicet demonstratio formalis formulae $\gamma$ , igitur $T\vdash \operatorname {Prv} _{T}(\sharp \gamma )$ . Igitur $T$ non est congruens.
Si $T\vdash \neg \gamma$ , igitur $T\vdash \operatorname {Prv} _{T}(\sharp \gamma )$ . Ergo est demonstratio formalis formulae $\gamma$ , ergo $T\vdash \gamma$ . Ergo $T$ non est congruens.

Ergo nulla theoria $T$ est, quod erat demonstrandum.

Theorema secundum

Expositio

Theorema. Sit theoria RE $T$ , quae axiomata PA continet. Si $T$ se esse congruentem demonstrat, tum $T$ non est congruens.

Nota bene:

$T$ est congruens, si nulla formula $\phi$ inveniri potest, ut $T\vdash (\phi \land \neg \phi )$ .
Ergo, $T$ se esse congruentem demonstrat, si $T\vdash \operatorname {Cons} _{T}$ , in quo $\operatorname {Cons} _{T}$ sententia est ut:

\operatorname {Cons} _{T}:=\neg \exists n\,(\operatorname {Prv} _{T}(n)\land \operatorname {Prv} _{T}(\operatorname {neg} (n)))

ubi

\operatorname {neg} (\sharp \phi ):=\sharp (\neg \phi )

cuique

\phi

. Hoc igitur theorema alio modo exponitur:

"Si

T\vdash \operatorname {Cons} _{T}

, tum

T

non est congruens."

Bibliographia

Theoremata ipsa

Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-98.

De theorematis

Baaz, Matthias, Christos H. Papadimitriou, Hilary W. Putnam, Dana S. Scott, et Charles L. Harper, Jr. 2011. Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 9780521761444.
Berto, Francesco. 2008. Tutti pazzi per Gödel!: la guida completa al teorema di incompletezza. Romae: Laterza. ISBN 9788842085904.
Delessert, André. 2000. Gödel: une révolution en mathématiques: essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens. Lausannae: Presses polytechniques et universitaires romandes. ISBN 9782880744496.
Deutsch, Michael. 2003. Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit über Nachfolgerbereichen. Bremae: Universitätsdruckerei Bremen. ISBN 9783887225780.
Díaz Estévez, Emilio. 1975. El teorema de Goedel. Pompelone: Ediciones Universidad de Navarra. ISBN 9788431303938.
Nagel, Ernst, et James R. Newman. 1958. Gödel's Proof. Novi Eboraci: New York University Press. OCLC 523475.

Nexus interni