Кватернион

Множење на кватернион

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Кватернион – претставува збир на скалари и вектори и како таков објект не е ни вектор ни скалар. Поимот кватернион го вовел Хамилтон. Пример на кватернион може да се најде при проучување на ротацијата на тело околу неподвижна оска.

Кога два скалари, на пример m и n се поделат, повторно се добива скалар p=m/n, што може да се напише како m=pn. По аналогија количник на два вектора a и b кои во општ случај не се колинеарни е некоја величина која се означува како Q при што како таква треба да го задоволува равенството a =Q b. Производот Q b, геометриски претставува деформација (со оглед дека векторите во општ случај не се колинеарни) и вртењето на векторот b за агол Θ=<(a, b) до поклопување со a. За да се дефинира делењето на два вектора, мора претходно да се дефинира величината Q. Оваа величиниа Хамилтон ја прикажал во облик на збир на скаларот А и векторот a. Величината Q=А+ a, бидејќи е одредена со четири броја ја нарекол кватернион. Кватернионот не може да се претстави геометриски со оглед за такво нешто се потребни четири оски, една за скаларот и три за векторот.

Графичко претставување на производ на кватернионски единици како ротација за 90° во четиридимензионален простор, ij = k, ji = −k, ij = −ji

Особини

$q::=a+bi+cj+dk\!$ где су $a,b,c,d\in \mathbb {R}$

а $i\!$, $j\!$ и $k\!$ испуњавају следеће услове:

$m*n\!$	$i\!$	$j\!$	$k\!$
$i\!$	$-1\!$	$k\!$	$-j\!$
$j\!$	$-k\!$	$-1\!$	$i\!$
$k\!$	$j\!$	$-i\!$	$-1\!$

Матричен облик

Ако елементите на матрицата се комплексни броеви тогаш таа е со димензии 2 * 2

${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}$

За реална матрица:

${\begin{pmatrix}\;\;a&b&\;\;c&d\\\;\;-b&\;\;a&-d&c\\\;\;-c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;-d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}$

Каде $a,b,c,d\in \mathbb {R}$.