Bulatan agung

Bulatan agung (jawi: بولتن اڬوڠ) atau bulatan besar atau bulatan gedang, juga dikenali sebagai ortodrome atau bulatan Riemann, bagi sebuah sfera adalah persilangan sfera dan satah yang melalui titik tengah atau pusat sfera. Kes bulatan sfera ini bertentangan dengan bulatan kecil, iaitu persilangan sfera dan satah yang tidak melalui pusat. Mana-mana diameter bagi mana-mana bulatan agung adalah sama dengan diameter sfera, oleh itu semua bulatan agung mempunyai lilitan yang sama antara satu sama lain, dan mempunyai pusat yang sama dengan sfera tersebut. Bulatan agung adalah bulatan terbesar yang dapat dibuat dalam mana-mana sfera. Setiap bulatan dalam Euclid 3-ruang adalah sebuah bulatan agung untuk sebuah sfera.

Bagi kebanyakan pasangan titik di permukaan sfera, terdapat bulatan agung unik yang melalui dua titik tersebut. Pengecualian adalah bagi sepasang titik Antipod yang terdapat bulatan agung dengan jumlah yang tak terhingga banyaknya. Lengkok kecil bagi bulatan agung di antara dua titik adalah laluan terpendek di permukaan antara kedua-duanya. Dalam pengertian ini, lengkok kecil itu adalah sama dengan "garis lurus" bagi geometri Euclid. Panjang lengkok kecil bagi bulatan agung diambil sebagai jarak di antara dua titik pada permukaan sfera dalam geometri Riemann. Bulatan agung geodesi bagi sfera.

Dalam dimensi yang lebih tinggi, bulatan agung bagi n-sfera adalah persilangan n-sfera dengan 2-satah yang melalui titik asalan dalam ruang Euclid R^{n+ 1}.

Geodesi Bumi

Lihat juga Geodesi

Sferoid buntal

Bumi bukanlah sebuah sfera sempurna, ia sebuah sferoid buntal atau ellipsoid – iaitu agak terpenyek di kutub, yang bermakna bahawa jarak terpendek di antara dua titik (sebuah geodesik) adalah bukan sebuah lingkaran besar. Sungguhpun begitu, model sfera dapat dianggap suatu penganggaran terbaik.

Apabila penerbangan jarak panjang atau jalan nautika dilukis pada sebuah peta datar (misal kata, anggaran Mercator), ia sering kelihatan melengkung. Ini adalah kerana ia terletak pada bulatan agung. Suatu jalan yang kelihatan seperti garis lurus di atas peta sebenarnya adalah lebih panjang. Suatu pengecualian adalah anggaran gnomonik, dalam mana semua garis lurus mewakili lingkaran besar.

Laluan penerbangan antara San Francisco dan Tokyo yang mengikut bulatan agung (atas), tetapi mengikut aliran jet (bawah) apabila menuju ke arah timur

Laluan bulatan agung digunakan oleh kapal-kapal dan pesawat di mana arus dan angin tidak dijadikan faktor penting. Panjang Penerbangan boleh kepada jarak bulatan agung antara dua lapangan terbang. Untuk pesawat yang perjalanannya ke barat antara benua di hemisfera utara, laluan ini akan berlanjutan ke utara berhampiran atau ke dalam rantau Artik, bagaimanapun penerbangan timur sering akan terbang lebih selatan untuk mengambil kesempatan menggunakan aliran jet tersebut.

Terbitan laluan terpendek

Untuk membuktikan yang lengkok kecil bagi bulatan agung ialah laluan terpendek bagi menghubungkan dua titik bagi sebuah permukaan sfera, seseorang harus menggunakan kalkulus untuk hal tersebut.

Anggapkan yang semua jenis laluan biasa dari titik p ke titik q. Perkenalkan koordinat sfera supaya p terletak pada kutub utaranya. Sebarang lengkungan di atas permukaan yang tidak bersilang dengan mana-mana kutub, kecuali mungkin di titik akhir, boleh diparameterkan sebagai

\theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b

dengan membenarkan φ menjadi sebarang nilai nyata. Panjang lengkok sangat kecil dalam koordinat ini adalah

ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.

Maka, panjang lengkungan γ dari p ke q ialah fungsi lengkungan yang diberi oleh

S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.

Perhatikan yang S[γ] ialah sekurang-kurangnya panjang meridian dari p ke q:

S[\gamma ]\geq r\int _{a}^{b}|\theta '(t)|\,dt\geq r|\theta (b)-\theta (a)|.

Memandangkan titik permulaan dan pengakhiran telah ditetapkan, S diminimiumkan jika dan hanya jika φ' = 0, supaya lengkungan tersebut terletak pada medirian sfera φ = φ₀ = pemalar. Dalam koordinat Cartesian, ini ialah

x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0

iaitu satah melalui asalan, iaitu pusat sfera.

Aplikasi

Sesetengah contoh bagi bulatan agung ialah sfera samawi termasuklah ufuk samawi, khatulistiwa samawi, dan ekliptik. Bulatan agung juga digunakan sebagai anggaran tepat bagi geodesi di atas permukaan Bumi (walaupun bentuk Bumi bukanlah sfera sempurna), dan juga di atas jasad samawi sferoid.

Lihat juga

Pautan luar

(Inggeris) Great Circle – from MathWorld Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
(Inggeris) The Great Circle Mapper Displays Great Circle flight routes on a map and calculates distance and duration
(Inggeris) Great Circle Mapper Interactive tool for plotting great circle routes.
(Inggeris) Great Circle Calculator Diarkibkan 2007-06-10 di Wayback Machine deriving (initial) course and distance between two points.
(Inggeris) Great Circle Distance Graphical tool for drawing great circles over maps. Also shows distance and azimuth in a table.
Great Circles on Mercator's Chart by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project.
(Inggeris) 3D First Problem (Itali) 3D javascript interactive tool (Google Chrome, Firefox, Safari (web browser)).
(Inggeris) 3D Second Problem (Itali) 3D javascript interactive tool (Google Chrome, Firefox, Safari (web browser)).