Dekpunt

In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie een argument dat op zichzelf wordt afgebeeld. Als de functie $f\colon V\to V$ de verzameling $V$ in zichzelf afbeeldt is het element $x$ een dekpunt van $f$ als $f(x)=x$. Als de functie bijvoorbeeld een rotatie in twee dimensies is, dan is het rotatiepunt een dekpunt.

Functie met drie dekpunten

Van de reële functie

$f(x)=x^{2}-3x+4$

is 2 een dekpunt van $f$, aangezien $f(2)=2$.

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat $f$ de op de reële getallen gedefinieerde functie $f(x)=x+1$ is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien $x$ voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan $x+1$. In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt $(x,f(x))$ op de lijn $y=x$ of in andere woorden het snijpunt van de grafiek van $f$ en de lijn $y=x$. In het voorbeeld $f(x)=x+1$ zijn de grafiek van de functie en de lijn $y=x$ evenwijdige lijnen.

Punten die na een eindig aantal toepassingen van de functie terugkeren op de uitgangswaarde, staan bekend als periodieke punten, een dekpunt wordt meteen op zichzelf afgebeeld.

Vinden van dekpunten

Dekpuntiteratie

Een dekpunt is een oplossing van de vergelijking $f(x)=x$.

Een andere manier om iteratief een dekpunt te vinden is een beginwaarde $x_{0}$ te kiezen en vervolgens de iteratie $x_{n+1}=f(x_{n})$ toe te passen. Dus $x_{1}=f(x_{0}),\ \ x_{2}=f(x_{1}),\ \ldots \$ enzovoort. Als de rij $(x_{n})$ convergeert is dat naar een dekpunt.

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

• De functie is gedefinieerd op een gesloten interval $I$, en $f(x)\in I$ als $x\in I$.
• Er is een positief getal $r<1$ zodat voor iedere $u,v\in I$ geldt dat $|f(u)-f(v)|<r|u-v|$.
• $g\in I$.

Nut van dekpunten

Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=g(x,f(x))$

met beginvoorwaarde $f(a)=y_{0}$. Hierbij is $g:[a,b]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ een continue functie. Deze differentiaalvergelijking met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking:

$f(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}g(t,f(t))\,\mathrm {d} t$

want als een oplossing $f$ hieraan voldoet, is

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=g(x,f(x))$ en $f(a)=y_{0}$

Zij $C=C[a,b]$ de verzameling van continue functies op $[a,b]$ en de afbeelding $U:C\to C$ gedefinieerd door

$(Uf)(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}g(t,f(t))\ \mathrm {d} t$

Als $U$ een dekpunt $f\in C$ heeft, dan is $f$ een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.

Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de contractiestelling van Banach.

Dekpuntstellingen

• Dekpuntstelling van Brouwer
• Dekpuntstelling van Caristi
• Contractiestelling van Banach

WikiWoordenboek

Zoek dekpunt op in het WikiWoordenboek.