Sfærisk trigonometri

En sfærisk trekant med sidene a, b og c samt vinklene α, β og γ ved hjørnene A, B og C.

Sfærisk trigonometri er læren om sfæriske trekanter og forholdet mellom vinklene og sidene deres. Denne delen av sfærisk geometri benyttes spesielt ved utregninger i astronomi og navigasjon på jordoverflaten og i verdensrommet.

En trekant består av tre sider som danner tre vinkler med hverandre. I euklidsk geometri vil kjennskap til to av vinklene automatisk også gi kjennskap til den tredje vinkelen da deres sum må være 180°. Trekantens sidekanter kan likevel ha hvilken som helst lengde, bare deres gjensidige forhold er bestemt av vinklene. I sfærisk geometri er derimot alle tre vinkler uavhengige av hverandre bortsett fra at deres sum må være større en 180°. Når alle vinklene er kjent, kan også sidene i den sfæriske trekanten beregnes.

Mens euklidsk geometri ble utviklet med tanke på linjer og sirkler i planet, ble sfærisk geometri benyttet for å beskrive fenomen på himmelkulen og den krumme jordoverflaten. Dette arbeidet ble videreført i middelalderen av muslimske lærde som i sin tur bragte denne kunnskapen i forbedret utgave tilbake til Europa på begynnelsen av Renessansen.

Linjer og vinkler

Sidekantene til en sfærisk trekant er lik de tilsvarende sentralvinklene i kulens sentrum.

På en kuleflate er en linje en geodetisk kurve som forbinder to punkt med den korteste mulige avstand. De er derfor storsirkler som fremkommer der plan gjennom kulens sentrum skjærer dens overflate. To slike plan gir opphav til to storsirkler som skjærer hverandre i to antipodale punkt og danner en sfærisk tokant. I hvert hjørne er vinkelen mellom de to linjene lik med den dihedrale vinkelen mellom de tilsvarende planene.^[1]

En sfærisk trekant er dannet av tre plan som går gjennom kulens sentrum. Hvis de tre hjørnene i trekanten kalles A, B og C, er det vanlig å benevne de motstående sidekantene a, b og c. De er buelengder og måles i grader eller radianer og er gitt ved den vinkel sidekanten sees under fra kulens sentrum. Det er vanlig å velge sidene slik at de har lengder mindre enn π . Vinklene i de tre hjørnene kan betegnes med A, B og C eller α, β og γ. De måles i de samme enheter.

Da arealet til trekanten er proporsjonalt med den sfæriske eksessen α + β + γ - π, må summen av vinklene være større enn 180°. For en veldig liten trekant nærmer denne summen seg 180° og dens geometri er euklidsk.^[1]

Cosinussetningen

Det meste av sfærisk trigonometri kan utledes fra denne setningen som bestemmer den motsatte siden til et hjørne i en sfærisk trekant når de to tilstøtende sidene er gitt sammen med vinkelen mellom dem. På den måten er den en utvidelse av den tilsvarende cosinussetningen i euklidsk plangeometri.

Setningen kan utledes på mange forskjellige måter.^[2] Man kan for eksempel angi de tre hjørnene A, B og C på kuleflaten ved vektorer i et kartesisk koordinatsystem med kulens sentrum O i origo. Hvis nå C er det aktuelle hjørnet med motsatt sidekant c, vil indreprodukt OA⋅OB = cosc når kulens radius er R = 1.

Samtidig kan dette produktet uttrykkes på andre måter. Hvis man orienterer aksesystemet slik at C ligger på y-aksen og B i xy-planet, vil komponentene for de tilsvarende vektorene være OC = (0, 1, 0) og OB = (sina, cosa, 0). Når vinkelen i hjørne C er γ = 90°, ligger vektoren OA i yz-planet. Generelt har den komponentene OA = (sinb⋅cosγ, cosb, sinb⋅sinγ). Dermed kan igjen skalarproduktet OA⋅OB regnes ut med resultatat

\cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma

Dette er den sfæriske cosinussetningen. I det spesielle tilfellet at a = b = 90° gir den at cosc = cosγ. Det betyr at c = γ som skyldes at i dette tilfellet er hjørnet C polen til linjen gjennom A og B.

Tilsvarende uttrykk kan på samme måte utledes for de andre sidene i trekanten. Når dens sider er mye kortere enn radius til kulen, kan man tilnærmet sette sina = a og cosa = 1 - a²/2, og setningen tar samme form som i plangeometrien.

Sinussetningen

Fra cosinussetningen kan man beregne vinkelen i hjørne C fra størrelsen til de tre sidene i trekanten. Den følger fra

\sin ^{2}\!\gamma =1-\left({\frac {\cos c-\cos a\,\cos b}{\sin a\,\sin b}}\right)^{2}

Ved direkte forenkling av dette uttrykket kan man omforme det til å gi

{\sin \gamma  \over \sin c}={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right)^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}

Høyre side her er fullstendig symmetrisk i de tre sidene og vil derfor også fremkomme ved en tilsvarende beregning av de andre vinklene. Derfor må man ha

{\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}

Dette er den sfæriske sinussetningen. I den euklidiske grensen R → ∞ går den over til den tilsvarende plangeometriske setningen der man kan sette sina = a og det samme for de andre sidene.^[1]

Samme resultat kan man komme frem til mer direkte ved å bruke vektorene som inngår i beviset for cosinussetningen. Med hjørnet C på y-aksen er da det skalare trippelproduktet OC⋅(OA×OB) = sina⋅sinb⋅sinγ. Men man kunne også valgt B på y-aksen slik at b og c byttes om. Da blir OB⋅(OC×OA) = sina⋅sinc⋅sinβ. Siden det vektorielle trippelproduktet er invariant under syklisk ombytte, er OC⋅(OA×OB) = OB⋅(OC×OA). Det betyr at sinγ/sinc = sinβ/sinb som er den sfæriske sinussetningen for disse to hjørnene.

Polare trekanter

I en sfærisk trekant ABC har linjestykket gjennom hjørnene A og B lengden c og en pol i et punkt C' . På samme har siden a en pol i et punkt A' , mens b har en pol i et punkt B' . Disse tre punktene danner en dual eller polar trekant A'B'C' til den gitte trekanten ABC. Den har hjørnevinkler og sider gitt ved

{\begin{alignedat}{3}\alpha '&=\pi -a,&\beta '&=\pi -b,&\gamma '&=\pi -c,\\a'&=\pi -\alpha ,&\qquad b'&=\pi -\beta ,&\qquad c'&=\pi -\gamma .\end{alignedat}}

De trigonometriske formlene må også gjelde for den duale trekanten. For eksempel vil cosinussetningen for sidekanten c' bety at

\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c

Man kan herav bestemme en vinkel fra vinklene i de to andre hjørnene og den motstående siden som forbinder dem. Den samme transformasjonen av sinussetningen gir ingen ny informasjon.

Spesielle formler

Mange nye formler kan utledes ved å kombinere formler fra cosinussetningen med de fra sinussetningen. En av de mer nyttige er cotangentsetningen som har formen

\cot a\sin b=\cot \alpha \sin \gamma +\cos b\cos \gamma

pluss fem andre formler med samme struktur for de andre kombinasjonene av sider og vinkler.^[2]

Napiers analogier

Enda mer spesielle og med mye symmetri er formlene til John Napier som ble utviklet på begynnelsen av 1600-tallet. Ofte kalles de for analogier som i denne sammenhengen betyr brøk eller forhold. De første fire er

{\begin{aligned}&&\\[-2ex]\displaystyle {\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha +\beta )}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a-b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a+b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}\gamma }&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a+b)}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha -\beta )}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha +\beta )}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\\[2ex]{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha -\beta )}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a-b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a+b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}\gamma }&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a-b)}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha -\beta )}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha +\beta )}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\end{aligned}}

Ved syklisk ombytte av sider og vinkler kan åtte til skrives ned. Et tilsvarende sett med lignende formler som kan føres tilbake til Gauss og Delambre to hundre år senere, kan også utledes.^[3]

Rette trekanter

Når en av vinklene i trekanten er 90°, sies den å være rettvinklet. Mange av de generelle formlene vil da forenkles. Velges den rette vinkelen å ligge i hjørne C, er da vinkelen γ = 90°. Cosinussetningen gir da at de tre sidene i trekanten er forbundet ved ligningen cosc = cosa⋅cosb. Dette kalles den sfæriske Pythagoras-setningen da den reduses til c² = a² + b² i den euklidske grensen hvor sidekantene blir veldig små. På samme måte gir sinussetningen at sina = sinα⋅sinc når γ = 90° og likedan følger tana = tanα⋅sinb fra cotangenssetningen.

I alt finner man ti formler på denne måten.^[2] De kan sammenfattes i tabellen:

{\begin{alignedat}{4}&{\text{1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\cdot \cos b&\qquad \qquad &{\text{6)}}&\qquad \tan b&=\cos \alpha \cdot \tan c\\&{\text{2)}}&\sin a&=\sin \alpha \cdot \sin c&&{\text{7)}}&\tan a&=\cos \beta \cdot \tan c\\&{\text{3)}}&\sin b&=\sin \beta \cdot \sin c&&{\text{8)}}&\cos \alpha &=\sin \beta \cdot \cos a\\&{\text{4)}}&\tan a&=\tan \alpha \cdot \sin b&&{\text{9)}}&\cos \beta &=\sin \alpha \cdot \cos b\\&{\text{5)}}&\tan b&=\tan \beta \cdot \sin a&&{\text{10)}}&\cos c&=\cot \alpha \cdot \cot \beta \end{alignedat}}

Den duale av en rettvinklet trekant har en sidekant som er 90° og er derfor rettsidet. Omvendt vil den duale av en rettsidet trekant ABC med c = 90° være rettvinklet. Det følger fra γ' = 180° - 90° = 90°. For den duale trekanten A'B'C' kan man derfor bruke de ovenfor etablerte formlene. Med α' = 180° - a, β' = 180° - b og så videre for de andre variable, finner man dermed de nye formlene

{\begin{alignedat}{4}&{\text{11)}}&\qquad \cos \gamma &=-\cos \alpha \cdot \cos \beta &\qquad \qquad &{\text{16)}}&\qquad \tan \beta &=-\cos a\cdot \tan \gamma \\&{\text{12)}}&\sin \alpha &=\sin a\cdot \sin \gamma &&{\text{17)}}&\tan a&=-\cos b\cdot \tan \gamma \\&{\text{13)}}&\sin \beta &=\sin b\cdot \sin \gamma &&{\text{18)}}&\cos a&=\sin b\cdot \cos \alpha \\&{\text{14)}}&\tan \alpha &=\tan a\cdot \sin \beta &&{\text{19)}}&\cos b&=\sin a\cdot \cos \beta \\&{\text{15)}}&\tan \beta &=\tan b\cdot \sin \alpha &&{\text{20)}}&\cos \gamma &=-\cot a\cdot \cot b\end{alignedat}}

for den rettsidete trekanten ABC med sidekanten c = 90°.

Napiers huskeregler

Femkanten til Napier hvor A = α og B = β med ${\bar {a}}=\pi /2-a$ og ${\bar {b}}=\pi /2-b.$

En vilkårlig, sfærisk trekant kan alltid bli delt opp i to rettvinklete trekanter. Derfor er formlene for slike spesielle trekanter av stor, praktisk betydning. Det lå også til grunn for at Napier også oppfant logaritmer for å forenkle det numeriske arbeidet involvert i deres bruk.^[3]

De forskjellige formlene kunne han redusere til essensielt to enkle huskeregler. Hvis den rette vinkelen γ = π /2, inneholder trekanten fem andre størrelser vinkler og sidekanter. Han lot siden c sammen med de to hosliggende vinklene α og β inngå som element i en fiktiv femkant hvor de to andre elementene er π /2 - a og π /2 - b som i figuren. For hvert element i femkanten er da

cosinus til element = produktet av cotangens til de to naboelementene
cosinus til element = produktet av sinus til de to motsatte elementene

Man ser lett at dette gir de ti formelene for rettvinkelete trekanter. For eksempel hvis man betrakter element α, så gir den første huskeregelen formel 6, mens den andre gir formel nummer 8.

Tilsvarende huskeregler kan settes opp for rettsidete trekanter.

Referanser

^ ^a ^b ^c J. Hann, The Elements of Spherical Trigonometry, Virtue Bothers & Co, London (1866).
^ ^a ^b ^c I. Todhunter, Spherical Geometry, MacMillan and Co., London (1863). Google Book.
^ ^a ^b G. van Brummelen, Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey (2013). ISBN 978-0-691-14892-2.

Kilder

Sfærisk trigonometri. (2012-02-14) I Store norske leksikon. Hentet fra http://snl.no/sfærisk_trigonometri

[Hann-1] J. Hann, The Elements of Spherical Trigonometry, Virtue Bothers & Co, London (1866).

[Todhunter-2] I. Todhunter, Spherical Geometry, MacMillan and Co., London (1863). Google Book.

[Brummelen-1-3] G. van Brummelen, Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey (2013). ISBN 978-0-691-14892-2.

[1]

[2]

[3]