Cosinus og sinus på enhetssirkelen I matematikk er trigonometriske identiteter likheter som involverer trigonometriske funksjoner og er sanne for alle verdier av variablene . Geometrisk sett er disse identiteter som involverer bestemte funksjoner av en eller flere vinkler . Disse skiller seg fra trekantidentiteter , som er identiteter som involverer både vinkler og sidelengder i en trekant . Bare de førstnevnte dekkes av denne artikkelen.
Denne artikkelen bruker greske bokstaver slik som alfa , (α ), beta (β ), gamma (γ ) og theta (θ ) for å representere vinkler . Flere forskjellige vinkelmåleenheter er utbredt, heriblant grader , radianer og gon :
1 full sirkel = 360 grader = 2
π
{\displaystyle \pi }
Den følgende tabellen viser omregningene for noen vanlige vinkler:
Grader
30°
60°
120°
150°
210°
240°
300°
330°
Radianer
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!}
2
π
3
{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!}
5
π
6
{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!}
7
π
6
{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!}
4
π
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!}
5
π
3
{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!}
11
π
6
{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!}
Gon
33⅓ gon
66⅔ gon
133⅓ gon
166⅔ gon
233⅓ gon
266⅔ gon
333⅓ gon
366⅔ gon
Grader
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
Radianer
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!}
3
π
4
{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!}
π
{\displaystyle \pi \!}
5
π
4
{\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!}
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!}
7
π
4
{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!}
2
π
{\displaystyle 2\pi \!}
Gon
50 grad
100 gon
150 gon
200 gon
250 gon
300 gon
350 gon
400 gon
Med mindre annet er angitt, antas alle vinkler i denne artikkelen å være i radianer, men vinkler angitt med gradsymbol (°) er i grader.
De primære trigonometriske funksjonene er sinus og cosinus til en vinkel. Disse er noen ganger forkortet henholdsvis sin(θ ) og cos(θ ), der θ er vinkelen, men parentesene rundt vinkelen er ofte utelatt, f.eks. sin θ and cos θ .
Tangensfunksjonen (tan) til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus:
tan
θ
=
sin
θ
cos
θ
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.}
Til slutt er de resiproke funksjonene secans (sec), cosecans (csc) og cotangens (cot) de resiproke av cosinus, sinus og tangens:
sec
θ
=
1
cos
θ
,
csc
θ
=
1
sin
θ
,
cot
θ
=
1
tan
θ
=
cos
θ
sin
θ
.
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}
De inverse trigonometriske funksjonene er delvise inverse funksjoner for de trigonometriske funksjonene. For eksempel er den inverse funksjonen for sinus kjent som invers sinus (sin−1 ) eller arcsinus (arcsin eller asin), og den tilfredsstiller
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\!}
og
arcsin
(
sin
θ
)
=
θ
for
−
π
/
2
≤
θ
≤
π
/
2.
{\displaystyle \arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.}
Denne artikkelen bruker følgende notasjon for inverse trigonometriske funksjoner:
Funksjon
sin
cos
tan
sec
csc
cot
Invers
arcsin
arccos
arctan
arcsec
arccsc
arccot
Det grunnleggende forholdet mellom sinus og cosinus er enhetsformelen :
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!}
der sin2 θ betyr (sin(θ ))2 .
Dette kan betraktes som en versjon av Pythagoras' læresetning , og følger fra ligningen x 2 + y 2 = 1 for enhetssirkelen . Denne ligningen kan løses med hensyn på enten sinus eller cosinus:
sin
θ
=
±
1
−
cos
2
θ
og
cos
θ
=
±
1
−
sin
2
θ
.
{\displaystyle \sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{og}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,}
Å dele enhetsformelen på enten cos2 θ eller sin2 θ gir to andre identiteter:
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
og
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
.
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{og}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!}
Dette kan også betraktes som versjoner av Pythagoras' læresetning, og følger fra ligningen 12 + x 2 = y 2 for enhetssirkelen. Disse ligningene kan løses med hensyn på tangens/secans, eller cotangens/cosecans
Ved å bruke disse identitetene sammen med forholdsidentitetene, er det mulig å uttrykke en hvilken som helst trigonometrisk funksjon ved en hvilken som helst annen:
Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.[ 1]
uttrykt ved
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \!}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \!}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta \!}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta \!}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \!}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \!}
sin
θ
=
{\displaystyle \sin \theta =\!}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \ }
±
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!}
±
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!}
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}\!}
±
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!}
±
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!}
cos
θ
=
{\displaystyle \cos \theta =\!}
±
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \!}
±
1
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!}
±
csc
2
θ
−
1
csc
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!}
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}\!}
±
cot
θ
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!}
tan
θ
=
{\displaystyle \tan \theta =\!}
±
sin
θ
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!}
±
1
−
cos
2
θ
cos
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta \!}
±
1
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!}
±
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!}
1
cot
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}\!}
csc
θ
=
{\displaystyle \csc \theta =\!}
1
sin
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\!}
±
1
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}
±
1
+
tan
2
θ
tan
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta \!}
±
sec
θ
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!}
±
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!}
sec
θ
=
{\displaystyle \sec \theta =\!}
±
1
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!}
1
cos
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\!}
±
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!}
±
csc
θ
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \!}
±
1
+
cot
2
θ
cot
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!}
cot
θ
=
{\displaystyle \cot \theta =\!}
±
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!}
±
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}
1
tan
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}\!}
±
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!}
±
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \!}
Ved å undersøke enhetssirkelen, kan følgende egenskaper ved de trigonometriske funksjoner etableres.
Når de trigonometriske funksjonene blir speilet om bestemte vinkler, er resultatet ofte en av de andre trigonometriske funksjonene. Dette fører til de følgende identiteter:
Speilet om
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
[ 2]
Speilet om
θ
=
π
/
4
{\displaystyle \theta =\pi /4}
[ 3]
Speilet om
θ
=
π
/
2
{\displaystyle \theta =\pi /2}
sin
(
−
θ
)
=
−
sin
θ
cos
(
−
θ
)
=
+
cos
θ
tan
(
−
θ
)
=
−
tan
θ
csc
(
−
θ
)
=
−
csc
θ
sec
(
−
θ
)
=
+
sec
θ
cot
(
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}}
sin
(
π
2
−
θ
)
=
+
cos
θ
cos
(
π
2
−
θ
)
=
+
sin
θ
tan
(
π
2
−
θ
)
=
+
cot
θ
csc
(
π
2
−
θ
)
=
+
sec
θ
sec
(
π
2
−
θ
)
=
+
csc
θ
cot
(
π
2
−
θ
)
=
+
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}}
sin
(
π
−
θ
)
=
+
sin
θ
cos
(
π
−
θ
)
=
−
cos
θ
tan
(
π
−
θ
)
=
−
tan
θ
csc
(
π
−
θ
)
=
+
csc
θ
sec
(
π
−
θ
)
=
−
sec
θ
cot
(
π
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Ved å forskyve funksjonen med bestemte vinkler, er det ofte mulig å finne forskjellige trigonometriske funksjoner som uttrykker resultatet enklere. Noen eksempler på dette vises ved å forskyve funksjonene med π/2, π og 2π radianer. Fordi disse periodene er enten π eller 2π er det tilfeller der den nye funksjonen er eksakt den samme som den gamle funksjonen uten forskyvning.
Forskjøvet med π/2
Forskjøvet med π [ 4]
Forskjøvet med 2π [ 5]
sin
(
θ
+
π
2
)
=
+
cos
θ
cos
(
θ
+
π
2
)
=
−
sin
θ
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
csc
(
θ
+
π
2
)
=
+
sec
θ
sec
(
θ
+
π
2
)
=
−
csc
θ
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}}
sin
(
θ
+
π
)
=
−
sin
θ
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
tan
(
θ
+
π
)
=
+
tan
θ
csc
(
θ
+
π
)
=
−
csc
θ
sec
(
θ
+
π
)
=
−
sec
θ
cot
(
θ
+
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}}
sin
(
θ
+
2
π
)
=
+
sin
θ
cos
(
θ
+
2
π
)
=
+
cos
θ
tan
(
θ
+
2
π
)
=
+
tan
θ
csc
(
θ
+
2
π
)
=
+
csc
θ
sec
(
θ
+
2
π
)
=
+
sec
θ
cot
(
θ
+
2
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
Disse ble opprinnelig etablert av den persiske matematikeren Abū al-Wafā' Būzjānī i det 10. århundre.
En måte å bevise disse identitene på er å bruke Eulers formel . Bruken av symbolene
±
{\displaystyle \pm }
∓
{\displaystyle \mp }
pluss/minus-tegn .
Sinus
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!}
[ 6] [ 7]
Cosinus
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,}
[ 7] [ 8]
Tangens
tan
(
α
±
β
)
=
tan
α
±
tan
β
1
∓
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}
[ 7] [ 9]
Cotangens
cot
(
α
±
β
)
=
cot
α
cot
β
∓
1
cot
β
±
cot
α
{\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}
Arcsinus
arcsin
α
±
arcsin
β
=
arcsin
(
α
1
−
β
2
±
β
1
−
α
2
)
{\displaystyle \arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})}
[ 10]
Arccosinus
arccos
α
±
arccos
β
=
arccos
(
α
β
∓
(
1
−
α
2
)
(
1
−
β
2
)
)
{\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})}
[ 11]
Arctangens
arctan
α
±
arctan
β
=
arctan
(
α
±
β
1
∓
α
β
)
{\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)}
[ 12]
Arccotangens
arccot
x
±
arccot
y
=
arccot
(
x
y
∓
1
y
±
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}
Disse kan vises ved å bruke enten sum- eller differanseidentitetene eller formler for multiple vinkler.
Formler for dobbelte vinkler[ 13] [ 14]
sin
2
θ
=
2
sin
θ
cos
θ
=
2
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}
cos
2
θ
=
cos
2
θ
−
sin
2
θ
=
2
cos
2
θ
−
1
=
1
−
2
sin
2
θ
=
1
−
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}
tan
2
θ
=
2
tan
θ
1
−
tan
2
θ
{\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!}
cot
2
θ
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
{\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!}
Formler for triple vinkler[ 15] [ 16]
sin
3
θ
=
3
cos
2
θ
sin
θ
−
sin
3
θ
=
3
sin
θ
−
4
sin
3
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \sin \theta -\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}}
cos
3
θ
=
cos
3
θ
−
3
sin
2
θ
cos
θ
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}}
tan
3
θ
=
3
tan
θ
−
tan
3
θ
1
−
3
tan
2
θ
{\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!}
cot
3
θ
=
3
cot
θ
−
cot
3
θ
1
−
3
cot
2
θ
{\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!}
Formler for halve vinkler[ 17] [ 18]
sin
θ
2
=
±
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}
cos
θ
2
=
±
1
+
cos
θ
2
{\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}
tan
θ
2
=
csc
θ
−
cot
θ
=
±
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
=
sin
θ
1
+
cos
θ
=
1
−
cos
θ
sin
θ
tan
η
+
θ
2
=
sin
η
+
sin
θ
cos
η
+
cos
θ
tan
(
θ
2
+
π
4
)
=
sec
θ
+
tan
θ
1
−
sin
θ
1
+
sin
θ
=
1
−
tan
(
θ
/
2
)
1
+
tan
(
θ
/
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\end{aligned}}}
cot
θ
2
=
csc
θ
+
cot
θ
=
±
1
+
cos
θ
1
−
cos
θ
=
sin
θ
1
−
cos
θ
=
1
+
cos
θ
sin
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}
^ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
^ «The Elementary Identities» . Arkivert fra originalen 30. juli 2017. Besøkt 15. juni 2011 . ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
^ a b c (en) Eric W. Weisstein , Trigonometric Addition Formulas MathWorld .^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
^ (en) Eric W. Weisstein , Double-Angle Formulas MathWorld .^ (en) Eric W. Weisstein , Multiple-Angle Formulas MathWorld .^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
^ (en) Eric W. Weisstein , Half-Angle Formulas MathWorld . Autoritetsdata
