Zasada Fermata: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Przywrócono przedostatnią wersję, jej autor to Pcirrus. Autor wycofanej edycji to 81.190.154.59. |
wstawienie {{Kontrola autorytatywna}} |
||
| (Nie pokazano 39 wersji utworzonych przez 30 użytkowników) | |||
Linia 1:
'''Zasada Fermata''' w [[optyka|optyce
<blockquote>
</blockquote>
Obecnie wiadomo, że sformułowanie to nie jest najogólniejsze. Spośród wielu możliwych dróg łączących ustalone punkty <math>A</math> oraz <math>B</math> może to być droga ''stacjonarna'' (minimalna, maksymalna albo należąca do punktu przegięcia funkcjonału). Stacjonarność drogi oznacza, że czas jej pokonania nie zmieni się – z dokładnością do wyrazów rzędu 2-go – gdyby światło poruszało się po niewiele różniącej się drodze. W ogólniejszym sformułowaniu zasada Fermata powinna więc brzmieć:
<blockquote>
Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa '''stacjonarną''' drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzebuje '''stacjonarnego''' czasu.
</blockquote>
Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo [[odbicie (fizyka)|odbicia]] i [[załamanie (fizyka)|załamania]].▼
W klasycznych zagadnieniach takich jak [[Refrakcja|załamanie]], [[Odbicie fali|odbicie]] od płaskiej powierzchni droga pokonywana przez światło jest minimalna. W przypadku [[soczewkowanie grawitacyjne|soczewkowania grawitacyjnego]] światło porusza się po drodze maksymalnej. Podczas odbicia od zwierciadła eliptycznego droga promienia osiąga [[punkt siodłowy]] (zmiana w jednym kierunku powoduje wzrost czasu pokonania drogi, a w kierunku prostopadłym do pierwszego – zmniejszenie).
▲Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo [[odbicie
Światło biegnie z punktu A do punktu B. Chcemy odnaleźć krzywą po której się ono porusza. Załóżmy, że mamy dwa ośrodki optyczne i bezwzględnym współczynniku załamania <math>n_1</math> i <math>n_2</math>. Wtedy prędkość światła w każdym z tych ośrodków wynosi odpowiednio:▼
[[Plik:Wyprowadzenie zasady Fermata.svg|thumb|300x300px|Wyprowadzenie zasady załamania z zasady Fermata]]
▲Światło biegnie z punktu <math>A</math> do punktu <math>B.</math>
Niech <math>x</math> oznacza współrzędną punktu, w którym światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków. Najszybszą drogą dotarcia do tego punktu z punktu <math>A</math> oraz od tego punktu do punktu <math>B</math> w ośrodkach jednorodnych są odcinki linii prostych. Czas potrzebny na przebycie drogi od <math>A</math> do <math>B</math> wynosi więc:
: <math>t(x)=\frac{\sqrt{x^2+h_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{h_2^2+(a-x)^2}}{v_2},</math>
gdzie <math>a</math> jest odległością między punktami A i B mierzoną w poziomie wzdłuż granicy ośrodków. Stacjonarność rozwiązania wymaga zerowania się pierwszej pochodnej czasu po <math>x{:}</math>
<math>t'(x)=0 \iff \frac{x}{v_1\sqrt{x^2+h_1^2}}+\frac{-(a-x)}{v_2\sqrt{h_2^2+(a-x)^2}}=0 \iff </math>▼
: <math>\begin{align}
▲
\end{align}</math>
▲<math>\iff \frac{v_1}{v_2}=\frac{\frac{x}{v_1\sqrt{h_1^2+x^2}}}{\frac{a-x}{v_1\sqrt{h_2^2+((a-x)^2}}}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} </math>
: <math>\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.</math>
== Przypisy ==
▲Zatem:
{{Przypisy}}
{{Kontrola autorytatywna}}
▲<math>\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>
[[Kategoria:Optyka geometryczna]]
| |||